阶段提升突破练(五)(解析几何)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·资阳二模)双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一个焦点F到E的渐近线的距离为a,则E的离心率是()A.B.C.2D.3【解题导引】由点到直线的距离公式计算可得焦点F到渐近线的距离为b=a,进而由双曲线离心率公式计算可得答案.【解析】选C.根据题意,双曲线E:-=1的焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±x,即ay±bx=0,设F(c,0),F到渐近线ay-bx=0的距离d===b,又由双曲线E:-=1的一个焦点F到E的渐近线的距离为a,则b=a,c==2a,故双曲线的离心率e==2.【加固训练】若双曲线x2-y2=2右支上一点(s,t)到直线y=x的距离为2,则s-t的值等于()A.2B.2C.-2D.-2【解析】选B.因为双曲线x2-y2=2右支上一点(s,t)到直线y=x的距离为2,所以d==2,所以|s-t|=2.又P点在右支上,则有s>t,所以s-t=2.2.(2017·昆明二模)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,抛物线的对称轴与准线交于点Q,P为抛物线上的动点,|PF|=m|PQ|,当m最小时,点P恰好在以F,Q为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为()A.3-2B.2-C.-D.-1【解析】选D.由已知,F(0,1),Q(0,-1),过点P作PM垂直于准线,则PM=PF.记∠PQM=α,则m===sinα,当α最小时,m有最小值,此时直线PQ与抛物线相切于点P,设P,可得P(±2,1),所以|PQ|=2,|PF|=2,则|PF|+|PQ|=2a,所以a=+1,c=1,所以e==-1.3.已知直线l:kx+y-2=0(k∈R)是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴,过点A(0,k)作圆C的一条切线,切点为B,则线段AB的长为()A.2B.2C.3D.2【解题导引】利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l:kx+y-2=0经过圆C的圆心(3,-1),求得k的值,可得点A的坐标,再利用直线和圆相切的性质求得AB的长.【解析】选D.由圆C:x2+y2-6x+2y+9=0得,(x-3)2+(y+1)2=1,表示以C(3,-1)为圆心、半径等于1的圆.由题意可得,直线l:kx+y-2=0经过圆C的圆心(3,-1),故有3k-1-2=0,得k=1,则点A(0,1),即|AC|==.则线段|AB|===2.4.(2017·深圳二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,M是双曲线上异于A1,A2的任意一点,直线MA1和MA2分别与y轴交于P,Q两点,O为坐标原点,若|OP|,|OM|,|OQ|依次成等比数列,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞)B.[,+∞)C.(1,)D.(1,]【解析】选A.由题意得A1(-a,0),A2(a,0),而M是双曲线上的点,令M(m,n),求得直线MA2:y=(x-a),MA1:y=(x+a),所以Q,P;而|OP|,|OM|,|OQ|依次成等比数列,所以|OP||OQ|=|OM|2,即×=m2+n2①;而-=1②;联立解得a2=,c2=;所以离心率e====≥;经验证,n=0时,不满足题意,所以双曲线的离心率e>.即双曲线的离心率的取值范围是(,+∞).5.(2017·长沙二模)与圆x2+(y-2)2=2相切,且在两坐标轴上截距相等的直线有()A.6条B.4条C.3条D.2条【解题导引】可设两坐标轴上截距相等(在坐标轴上截距不为0)的直线方程为x+y=a,与圆的方程x2+(y-2)2=4联立,利用Δ=0即可求得a的值,从而可求得直线方程;另外需要考虑坐标轴上截距都为0的情况.【解析】选C.设两坐标轴上截距相等(在坐标轴上截距不为0)的直线l的方程为x+y=a,则由题意得:消去y得:2x2+(4-2a)x+a2-4a+2=0,因为l与圆x2+(y-2)2=2相切,所以Δ=(4-2a)2-4×2(a2-4a+2)=0,解得a=0(舍去)或a=4,所以l的方程为x+y=4;当坐标轴上截距都为0时,由图可知y=x与y=-x与该圆相切.共有3条满足题意的直线.6.(2017·武汉一模)点M是抛物线x2=2py(p>0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线的焦点,P在抛物线上,在△PFM中,sin∠PFM=λsin∠PMF,则λ的最大值为()A.B.1C.D.【解题导引】由正弦定理求得|PM|=λ|PF|,作PB垂直于准线于点B,根据抛物线的定义,则=,sinα=,则λ取得最大值时,sinα最小,此时直线PM与抛物线相切,将直线方程代入抛物线方程,Δ=0,求得k的值,即可求得λ的最大值.【解析】选C.过P作准线的垂线,垂足为B,则由抛物线的定义可得|PF|=|PB|,由sin∠PFM=λsin∠PMF,则△PFM中由正弦定理可知:|PM|=λ|PF|,所以|PM|=λ|PB|,所以=,设PM的倾斜角为α,则sinα=,当λ取得最大值时,sinα最小,此时直线PM与抛物线相切,设直线PM的方程为y=kx-,则即x2-2pkx+p2=0,所以Δ=4p2k2-4p2=0,所以k=±1,即tanα=±1,则sinα=,λ的最大值为=.【加固训练】已知抛物线y2=4x,圆F:(x-1)2+y2=1,过点F作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,...
