专题3.8一题多解玩透直线方程一、典例分析，融合贯通典例1例1：求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程.【思路点拨】【解法2】线系法1由于，故是直线系中的一条，而过的交点，故，由此求出，故的方程为.【点睛之笔】线系法，少思少算很合算！【解法3】线系法2由于过的交点，故是直线系中的一条，将其整理，得其斜率，解得代入直线系方程即得的方程为。【点睛之笔】利用线系，思维无缝隙！【解后反思】解法一：先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式求解；解法二：先建立与直线垂直的直线系方程，再将交点代入求解；解法三：先建立过两条直线交点的直线系方程，再利用斜率求解.典例2例2、若直线过点且与直线垂直，则直线的方程为_______.【解后反思】解法一：先求斜率，再用点斜式求解；解法二：先建立与直线垂直的线系方程，再将点代入求解.典例3若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．【解法1】截距式法设直线在轴，轴上的截距均为.由题意得.若，即过点和，所以直线的方程为，即若，设直线的方程为，因为直线过点，所以，所以，此时直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.【点睛之笔】截距式法，与真相零距离！二、精选试题，能力升级1.若直线与直线平行，则它们之间的距离为________.【解析】由两直线平行的条件得,解得,此时直线的方程可化为，∴两直线和间的距离为2.已知直线的倾斜角为直线经过点A(3，2)和B(a,-1)，且直线与直线垂直，直线的方程为2x+by+1=0，且直线与直线平行，则a+b等于_________.【解析】由直线的倾斜角得的斜率为的斜率为∵直线与垂直，∴得.又∵直线的斜率为,∴.因此.3．（2016朝阳模拟）直线的倾斜角为A．B．C．D．【解析】直线斜率为，即，因为，所以，故选D．4．斜率为2的直线经过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b＝A．4B．1C．－3D．0【解析】根据题意，得，解得，故．故选B5．经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为A．x＋2y－6＝0B．2x＋y－6＝0C．x－2y＋7＝0D．x－2y－7＝06．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为．【解析】直线的倾斜角是钝角，故，直线与的倾斜角与均为锐角，且，所以，因此．7．（2016菏泽期末）经过点(－2，2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1的直线l的方程为________．【解析】显然直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，则直线与轴交点为，与轴交点为，所以，解得或，所求直线方程为或．8．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．9．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(kR)．（1）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．【解析】（1）显然直线过定点，要使直线不经过第四象限，由直线的方程知：当时直线的斜率；当时，直线为，也符合题意，故．（2）由题意，可得，且，解得．因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，此时直线的方程为．10.（1）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当此四边形的面积最小时，实数____________；（2）已知直线l过点P(3，2)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当的面积取最小值时，直线l的方程为____________．【答案】（1）；（2）
