第十二讲圆锥曲线及其性质1.(2018广西南宁二中、柳州高中联考)已知双曲线x23-y2b2=1(b>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为()A.y=±13xB.y=±❑√33xC.y=±3xD.y=±❑√3x2.(2018四川成都模拟)如图,已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),长方形ABCD的顶点A,B分别为双曲线E的左,右焦点,且点C,D在双曲线E上,若|AB|=6,|BC|=52,则此双曲线的离心率为()A.❑√2B.32C.52D.❑√53.直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6xD.y2=-4x4.(2018广东惠州模拟)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2||PF1|的值为()A.514B.59C.49D.5135.(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-❑√32B.2-❑√3C.❑√3-12D.❑√3-16.(2018安徽合肥模拟)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=()A.13B.❑√23C.23D.2❑√237.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.8.(2018江西南昌模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作圆(x-a)2+y2=c216的切线,若该切线恰好与C的一条渐近线垂直,则双曲线C的离心率为.9.P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,A为左顶点,F为右焦点,PF⊥x轴,若tan∠PAF=12,则椭圆的离心率e为.10.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为.11.(2018湖北武汉调研)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x2a2+y2=1(a>1,a∈R)上,过O的直线交椭圆C于A,B两点,F为椭圆C的左焦点.(1)若△FAB的面积的最大值为1,求a的值;(2)若直线MA,MB的斜率乘积等于-13,求椭圆C的离心率.12.(2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-12;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且⃗FP+⃗FA+⃗FB=0.证明:2|⃗FP|=|⃗FA|+|⃗FB|.答案精解精析1.B因为抛物线y2=8x的焦点为(2,0),所以双曲线x23-y2b2=1的一个焦点为(2,0),所以22=3+b2,解得b=1.于是,该双曲线的渐近线方程为y=±1❑√3x,即y=±❑√33x.故选B.2.B因为2c=|AB|=6,所以c=3.因为b2a=|BC|=52,所以5a=2b2.又c2=a2+b2,所以9=a2+5a2,解得a=2或a=-92(舍去),故该双曲线的离心率e=ca=32,故选B.3.B设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知|AB|=-(x1+x2)+p=8.又AB的中点到y轴的距离为2,∴-x1+x22=2,∴x1+x2=-4,∴p=4,∴所求抛物线的方程为y2=-8x.故选B.4.D如图,设线段PF1的中点为M,因为O是F1F2的中点,所以OM∥PF2,可得PF2⊥x轴,则|PF2|=b2a=53,|PF1|=2a-|PF2|=133,所以|PF2||PF1|=513,故选D.5.D如图,不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).在Rt△F1PF2中,因为∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=❑√3c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即❑√3c+c=2a,所以椭圆的离心率e=ca=2❑√3+1=❑√3-1.故选D.6.D设抛物线C:y2=8x的准线为l,易知l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,∴点B为线段AP的中点,连接OB,则|OB|=12|AF|,∴|OB|=|BF|,∴点B的横坐标为1, k>0,∴点B的坐标为(1,2❑√2),∴k=2❑√2-01-(-2)=2❑√23.故选D.7.答案(1,0)解析由题意得a>0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2❑√a),B(1,-2❑√a),故|AB|=4❑√a=4,得a=1,故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).8.答案2解析不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=bax,由题意可知该切线方程为y=-ab(x-c),即ax+by-ac=0.圆(x-a)2+y2=c216的圆心为(a,0),半径为c4,则圆心到切线的距离d=|a2-ac|❑√a2+b2=ac-a2c=c4,又e=ca,所以e2-4e+4=0,解得e=2,所以双曲线C的离心率e=2.9.答案12解析如图,不妨设点P在第一象限,因为PF⊥x轴,所以xP=c,将xP=c代入椭圆方程得yP=b2a,即|PF|=b2a,则tan...
