第1讲三角函数的图象与性质1.(2016·四川改编)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点向______平行移动________个单位长度.答案右解析由题意可知,y=sin=sin,则只需把y=sin2x的图象向右平移个单位.2.(2016·课标全国甲改编)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为______________.答案x=+(k∈Z)解析由题意将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin,由2x+=kπ+,k∈Z,得函数的对称轴为x=+(k∈Z).3.(2016·课标全国乙改编)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为________.答案9解析因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图象的对称轴,所以-=+kT,即=T=·,所以ω=4k+1(k∈N),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,由此得ω的最大值为9.4.(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.答案7解析在区间[0,3π]上分别作出y=sin2x和y=cosx的简图如下:由图象可得两图象有7个交点.1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值,重点考查分析、处理问题的能力,是高考的必考点.热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1.三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2.同角关系:sin2α+cos2α=1,=tanα.3.诱导公式:在+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.例1(1)角α终边经过点(-sin20°,cos20°),则角α的最小正角是______.(2)已知θ是第三象限角,且sinθ-2cosθ=-,则sinθ+cosθ=________.答案(1)110°(2)-解析(1)由题意知,角α是第二象限角,x=-sin20°=-cos70°=cos110°,y=cos20°=sin70°=sin110°,所以α=110°.(2)由sinθ-2cosθ=-及sin2θ+cos2θ=1得,(2cosθ-)2+cos2θ=1⇒5cos2θ-cosθ-=0⇒cosθ=或cosθ=-,因为θ是第三象限角,所以cosθ=-,从而sinθ=-,sinθ+cosθ=-.思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关.(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.跟踪演练1(1)已知锐角α的终边上一点P(1+sin50°,cos50°),则α=________.(2)如图,以Ox为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P,已知点P的坐标为,则=________.答案(1)20°(2)解析(1)由任意角的三角函数的定义可得x=1+sin50°,y=cos50°,tanα=====tan20°.由α为锐角,得α=20°.(2)由三角函数定义,得cosα=-,sinα=,∴原式===2cos2α=2×2=.热点二三角函数的图象及应用函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)“五点法”作图:设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.(2)图象变换:y=sinx――――――――→y=sin(x+φ)―――――――――――→y=sin(ωx+φ)―――――――――――→y=Asin(ωx+φ).例2(1)函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数是奇函数,则函数f(x)在[0,]上的最小值为________.(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f()的值为__________.答案(1)-(2)1解析(1)把函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度得到函数y=sin(2x++φ)的图象.因为函数y=sin(2x++φ)为奇函数,所以+φ=kπ,k∈Z.因为|φ|<,所以φ的最小值是-.所以函数f(x)=sin(2x-).当x∈[0,]时,2x-∈[-,],所以当x=0时,函数f(x)取得最小值-.(2)根据图象可知,A=2,=-,所以周期T=π,由ω...