高考数学一轮复习 专题探究课4 立体几何中的高考热点问题 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

四立体几何中的高考热点问题(对应学生用书第127页)[命题解读]立体几何是高考的重要内容，从近五年全国卷高考试题来看，立体几何每年必考一道解答题，难度中等，主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算，考查的热点是平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题突出三大能力：空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力与两大数学思想：转化化归思想数形结合思想的考查．空间点、线、面间的位置关系空间线线、线面、面面平行、垂直关系常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等．用向量法证明平行、垂直、求空间角，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算来实现，实质是把几何问题代数化，注意问题：(1)恰当建系，建系要直观；坐标简单易求，在图上标出坐标轴，特别注意有时要证明三条轴两两垂直(扣分点)．(2)关键点，向量的坐标要求对，把用到的点的坐标一个一个写在步骤里．(3)计算要认真细心，特别是|n|，n1、n2的运算．(4)弄清各空间角与向量夹角的关系．如图1所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．图1(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．[解](1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(1)(2)(2)证明：法一：如图(1)，取AB中点G，连接EG，FG.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC．因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG平面ABE，C1F⊆平面ABE，所以C1F∥平面ABE.法二：如图(2)，取AC的中点H，连接C1H，FH.因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB.又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1\s\do5(═)AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面ABE∥平面C1HF.又C1F平面C1HF，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.所以三棱锥EABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.[规律方法]1.1证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.2证明C1F∥平面ABE：①利用判定定理，关键是在平面ABE中找作出直线EG，且满足C1F∥EG.②利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行、面面平行的转化.2.计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，而不能直接用公式时注意进行体积的转化.[跟踪训练]如图2所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.图2(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC．【导学号：79140259】[证明]以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，EF＝，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．(1)因为EF＝－AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.又AB平面PAB，EF⊆平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC．又因为AP∩AD＝A，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC．立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线面平行与垂直位置关系的探索或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种考查形式：(1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在．(2016·北京高考)如图3，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，A...