天津市南开中学2015届高考数学解析压轴题复习(含解析)1.椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.解:11.在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.(I)求椭圆的方程;(II)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且,直线BD与轴、轴分别交于M,N两点.(i)设直线BD,AM的斜率分别为,证明存在常数使得,并求出的值;(ii)求面积的最大值.解:(I)由题意知,可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得,因此,可得.因此,所以椭圆C的方程为.(II)(ⅰ)设,则,因为直线AB的斜率,又,所以直线AD的斜率,2设直线AD的方程为,由题意知,由,可得.所以,因此,由题意知,所以,所以直线BD的方程为,令,得,即.可得.所以,即.因此存在常数使得结论成立.(ⅱ)直线BD的方程,令,得,即,由(ⅰ)知,可得的面积,3因为,当且仅当时等号成立,此时S取得最大值,所以的面积的最大值为.2.圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线过点P且离心率为.(1)求的方程;(2)椭圆过点P且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求的方程.(Ⅰ)设切点坐标为,则切线斜率为,切线方程为,即,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值,即S有最小值,因此点P得坐标为,由题意知解得,故方程为.4(Ⅱ)由(Ⅰ)知的焦点坐标为,由此的方程为,其中.由在上,得,解得b12=3,因此C2方程为显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点由得,又是方程的根,因此,由得因由题意知,所以,将①,②,③,④代入⑤式整理得,解得或,因此直线l的方程为,或.53.设椭圆:,抛物线:.(Ⅰ)若经过的两个焦点,求的离心率;(Ⅱ)设,,又为与不在轴上的两个交点,若的垂心为,且的重心在上,求椭圆和抛物线的方程.(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得:,由。(2)由题设可知M、N关于y轴对称,设,由的垂心为B,有。由点在抛物线上,,解得:6xyBQMNAO故,得重心坐标.由重心在抛物线上得:,,又因为M、N在椭圆上得:,椭圆方程为,抛物线方程为。【审题要津】对:,令,解出的在轴上的横截距即为的焦点的横坐标,据此(与的关系)易得的离心率.解:(Ⅰ)对:,令,解得.由题设知,于是.【审题要津】易见同时是与的顶点.由是的垂心,可得,又的重心在上(坐标满足方程)也可得一个方程.两个方程均需点的坐标,于是应先由求出点的坐标(用的参数表示).好在有一个已知的公共点,计算不难.解:(Ⅱ)设的焦距为,①-②得,.注意到是其一个“当然的”根,依韦达定理,则另一根为.代入②,得.于是,.由,得.于是,,此时,,.的重心的坐标为.由,.解得,于是,,故的方程为,的方程为.【解法研究】(Ⅱ)求与的交点时,充分利用是其一个“已知”的公共点,对方程有一个根为的判断就是“当然的”——不算也可知,“验一下”也是为了确保方程无误.此外,计算过程中不宜追求用两个字母表示,否则式子会较繁,毕竟还有一个“做后盾”.74.如图,在平面直角坐标系xOy中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点B的坐标为,连结并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结.(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程;(2)若,求椭圆离心率e的值.【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.满分14分.(1) ,∴ ,∴,∴∴椭圆方程为(2)设焦点 关于x轴对称,∴8 三点共线,∴,即① ,∴,即②①②联立方程组,解得∴ C在椭圆上,∴,化简得,∴,故离心率为5.已知椭圆,(1)求椭圆的离心率.(2)设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,求直线与圆的位置关系,并证明你的结论.解:(I)由题意,椭圆C的标准方程为。所以,从而。因此。故椭圆C的离心率。(Ⅱ)直线AB与圆相切。证明如下:设点A,B的坐标分别为,,其中。因为,所以...