中难提分突破特训(三)1．已知函数f(x)＝2sinxsin.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，角A的平分线交BC于D，直线x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，AD＝BD＝2，求边a.解(1)∵f(x)＝2sinxsin，∴f(x)＝2sinxsinx·＋2sinxcosx·＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，∴2A－＝＋kπ，k∈Z.∴A＝＋，k∈Z.又∵△ABC是锐角三角形，∴A＝.在△ABD中，∠BAD＝，BD＝，AD＝2，由正弦定理，得＝，∴sinB＝.∴∠B＝.∴∠C＝π－－＝.∠CDA＝＋＝.∴AC＝AD＝2.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴BC＝a＝.2．近几年，成都街头开始兴起“mobike”“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持不支持合计(2)若从年龄在[15,20)的被调查人中随机选取2人进行调查，求恰好这2人都支持发展共享单车的概率．参考数据：参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)根据所给数据得到如下2×2列联表：年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持301040不支持5510合计351550根据2×2列联表中的数据，得到K2的观测值为k＝≈2.38＜2.706.∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．(2)“从年龄在[15,20)的被调查人中随机选取2人进行调查，恰好这2人都支持发展共享单车”记为事件A.年龄在[15,20)的5个受访人中，有4人支持，记为A1，A2，A3，A4,1人不支持，记为B.则从这5人中随机抽取2人的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B}，{A3，A4}，{A3，B}，{A4，B}，共10个．其中，恰好抽取的2人都支持发展共享单车的基本事件包含{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A3，A4}，共6个．∴P(A)＝＝.∴从年龄在[15,20)的被调查人中随机选取2人进行调查，恰好这2人都支持发展共享单车的概率是.3．已知四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别为AD，PC上的点，AD＝3AE，PC＝3PF，四边形BCDE为矩形．(1)求证：PA∥平面BEF；(2)若∠PAD＝60°，PA＝2AE＝2，PB＝2，求三棱锥P－BEF的体积．解(1)证明：如图，连接AC，交BE于点M，连接FM.因为四边形BCDE是矩形，所以BC∥DE，BC＝DE，所以△AME∽△CMB，所以＝＝.依题意，＝，所以＝＝，所以PA∥FM，因为FM⊂平面BEF，PA⊄平面BEF，所以PA∥平面BEF.(2)因为AP＝2，AE＝1，∠PAD＝60°，由余弦定理可得PE＝，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥CB.又BE⊥CB，且PE∩BE＝E，所以CB⊥平面PEB，而BC＝DE＝2AE＝2，所以点F到平面PEB的距离为，又在直角三角形PEB中，EB＝＝3，所以VP－BEF＝VF－PEB＝×××3×＝.4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)，θ＝(ρ∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．解(1)由参数方程(θ为参数)，得普通方程为x2＋(y－2)2＝4，所以C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.(2)不妨设直线l1：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，M，则ρM＝|OM|＝4sin＝2，又直线l2：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，N，则ρN＝|ON|＝4sin＝2.又∠MON＝，所以S△OMN＝|OM|·|ON|＝×2×2＝2.5．设函数f(x)＝＋|x－2m|(m>0)．(1)求证：f(x)≥8恒成立；(2)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围．解(1)证明：由m>0，有f(x)＝＋|x－2m|≥＝＝＋2m≥2＝8，当且仅当＝2m，即m＝2时取等号．所以f(x)≥8恒成立．(2)f(1)＝＋|1－2m|(m>0)，当1－2m<0，即m>时，f(1)＝1＋－(1－2m)＝＋2m，由f(1)>10，得＋2m>10，化简得m2－5m＋4>0，解得m<1或m>4，所以4，当1－2m≥0，即010，得2＋－2m>10，此式在010时，实数m的取值范围是(0,1)∪(4，＋∞)．
