高考数学二轮复习 专项精练 压轴大题突破练（一）直线与圆锥曲线（1）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2017届南京、盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；(3)记直线l与y轴的交点为P.若AP＝TB，求直线l的斜率k.解(1)因为椭圆＋＝1经过点(b,2e)，所以＋＝1.因为e2＝＝，所以＋＝1.因为a2＝b2＋c2，所以＋＝1.整理得b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍).所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．联立直线l与椭圆方程消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，所以因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程消去y，得(2k2＋1)x2＝8，解得x2＝.因为MN∥l，所以＝.因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝，(xM－xN)2＝4x2＝，所以＝＝·＝.(3)在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，从而AP＝(－x1，－k－y1)，TB＝(x2－1，y2)．因为AP＝TB，所以－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝.由(2)知，由解得x1＝，x2＝.因为x1x2＝，所以×＝，整理得50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－(舍)．又因为k>0，所以k＝.2．(2017·福建省福州第一中学质检)已知圆C：(x－1)2＋y2＝16，F(－1,0)，M是圆C上的一个动点，线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P.(1)求点P的轨迹方程；(2)记点P的轨迹为C1，A，B是直线x＝－2上的两点，满足AF⊥BF，曲线C1上过A，B的两条切线(异于x＝－2)交于点Q，求四边形AQBF面积的取值范围．解(1)依题意得圆心C(1,0)，半径r＝4，由于|PF|＋|PC|＝r＝4>|CF|＝2，所以点P的轨迹方程是以C，F为焦点，长轴长为4的椭圆，即a＝2，c＝1，则b2＝22－1＝3，所以点P的轨迹方程是＋＝1.(2)依题意，直线AF的斜率存在且不为零，设y＝k(x＋1)，令x＝－2，得A(－2，－k)，同理B.设过点A的切线为y＝k1(x＋2)－k，代入＋＝1，得(3＋4k)x2＋8k1(2k1－k)x＋4(2k1－k)2－12＝0.由Δ＝64k(2k1－k)2－16(3＋4k)[(2k1－k)2－3]＝0，解得k1＝，同理过点B的切线的斜率k2＝＝.联立两条切线解得x＝－4.S四边形AQBF＝|AB||xF－xQ|＝≥3，当且仅当k＝±1时等号成立，所以四边形AQBF面积的取值范围是[3，＋∞)．3．在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝3的距离之比为.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)已知P为定直线x＝3上一点．①过点F作FP的垂线交轨迹C于点G(G不在y轴上)，求证：直线PG与OG的斜率之积是定值；②若点P的坐标为(3,3)，过点P作动直线l交轨迹C于不同的两点R，T，线段RT上的点H满足＝，求证：点H恒在一条定直线上．(1)解设M(x，y)，则|MF|＝，点M到直线x＝3的距离d＝|x－3|，由＝，得＝，化简得＋＝1，即动点M的轨迹C的方程为＋＝1.(2)证明因为P为直线x＝3上的一点，所以令P的坐标为(3，t)．①令G(x0，y0)，由FG⊥FP，得FG·FP＝0，即(x0－1，y0)·(2，t)＝0，即ty0＝2－2x0，又因为点G(x0，y0)在椭圆＋＝1上，所以y＝2－，而PG，OG的斜率分别为kPG＝，kOG＝，于是kPG·kOG＝＝＝＝＝－，即直线PG与OG的斜率之积为定值－.②令＝＝λ(λ>0)，则PR＝λPT，RH＝λHT，令点H(x，y)，R(x1，y1)，T(x2，y2)，则即即由①×③，②×④，得因为R(x1，y1)，T(x2，y2)在椭圆＋＝1上，所以⑤×2＋⑥×3，得6x＋9y＝＝＝＝＝6，即2x＋3y－2＝0，所以点H在定直线2x＋3y－2＝0上．4．(2017届辽宁省锦州市质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>1)的左焦点F与抛物线y2＝－4x的焦点重合，直线x－y＋＝0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．(1)求该椭圆C的方程；(2)过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2.问：是否存在直线AB，使得S1＝S2，若存在，求直线AB的方程，若不存在，说明理由．解(1)由题意，得c＝1，e＝＝，即＝，∴a＝2，b＝，∴所求椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在直线AB使S1＝S2，显然直线AB不能与x轴，y轴垂直，∴直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，将其代入＋＝1，整理得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝，∴G.∵DG⊥AB，∴×k＝－1，解得xD＝，即D.∵△GFD∽△OED，∴＝，∴·＝2，即＝2.又∵S1＝S2，∴|GD|＝|OD|，∴＝，整理得8k2＋9＝0，∵此方程无解，∴不存在直线AB满足S1＝S2.