函数与方程思想、数形结合思想1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b的大小关系为()A.abC.a＝bD.无法确定答案A解析令g(x)＝exf(x)－ex，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，即g(x)在R上为增函数.所以g(3)>g(2)，即e3f(3)－e3>e2f(2)－e2，整理得e[f(3)－1]>f(2)－1，即a0时，不等式f(x)≥mx不恒成立，设过原点的直线与函数f(x)＝x2－3x＋2(x<1)相切于点A(x0，x－3x0＋2)，因为f′(x0)＝2x0－3，所以该切线方程为y－(x－3x0＋2)＝(2x0－3)(x－x0)，因为该切线过原点，所以－(x－3x0＋2)＝－x0(2x0－3)，解得x0＝－，即该切线的斜率k＝－2－3.由图象得－2－3≤m≤0.故选C.8.已知函数f(x)＝＋x＋sinx，若存在x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，则实数k的取值范围是()A.(－1，＋∞)B.(3，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，－1)答案A9.已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.答案2解析如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝a2h＝，故a2h＝32，即a2＝.则其侧棱长为l＝＝.令f(h)＝＋h2，则f′(h)＝－＋2h＝，令f′(h)＝0，解得h＝2.当h∈(0，2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增，所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝＋22＝12，故lmin＝＝2.10.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.答案(0，2)解析由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，从而可得函数y1＝|2x－2|的图象与函数y2＝b的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得00)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是______________.答案(0，1)∪解析方法一联立C1和C2的方程，消去x，得到关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0，①方程①可变形为r2＝－y2＋2y＋10，把r2＝－y2＋2y＋10看作关于y的函数.由椭圆C1可知，－2≤y≤2，因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，等价于在定义域为y∈[－2，2]的情况下，求函数r2＝f(y)＝－y2＋2y＋10的值域.由f(－2)＝1，f(2)＝9，f＝，可得f(y)的值域为，即r∈，它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0，1)∪.方法二联立C1和C2的方程消去x，得到关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0.①两条曲线没有公共点，等价于方程－y2＋2y＋10－r2＝0要么没有实数根，要么有两个根y1，y2∉[－2，2].若没有实数根，则Δ＝4－4××(10－r2)<0，解得r>或r<－.若两个根y1，y2∉[－2，2]，设φ(y)＝－y2＋2y＋10－r2，其图象的对称轴方程为y＝∈[－2，2].则又r>0，解得00，故φ(x)在上单调递增，所以φ(x)≥φ＝－>0.因此g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，则g(x)≥g＝＝2－，所以a－＝2－，解得a＝2，所以a的取值集合为{2}.
