备战数学应考能力大提升典型例题例1已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M.(1)求f(x)的解析式；(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A＝1.∵f(x)的图象经过点M，∴sin＝.∵0＜φ＜π⇒φ＝，∴f(x)＝sin＝cosx.(2)∵f(x)＝cosx，∴f(α)＝cosα＝，f(β)＝cosβ＝，已知α，β∈，所以sinα＝＝，sinβ＝＝.故f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.例2已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)，其图象过点.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)，所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝cos(2x－φ)，又函数图象过点，所以＝cos，即cos＝1，又0<φ<π，所以φ＝.(2)由(1)知f(x)＝cos，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos，因为x∈，所以4x∈，因此4x－∈，≤故－cos≤1.所以y＝g(x)在上的最大值和最小值分别为和－.例3已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx·sin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求ω；(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋.令2ωx＋＝，将x＝代入可得：ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋.经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(x－)＋.当x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值.令2kπ≤＋x≤－2kπ＋π，即x∈[4kπ＋，4kπ＋π]，k∈Z为函数的单调递减区间．创新题型1．设函数f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f()＝f()．(Ⅰ)求函数f(x)的值域；(Ⅱ)设f(x)图象上过任意一点P的切线斜率为k，证明：|k|≤2.(文科选做)2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[，]时，求f(x)的值域．3.设函数f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f()＝f()．(Ⅰ)求函数f(x)的值域；(Ⅱ)设f(x)图象上过任意一点P的切线斜率为k，证明：|k|≤2.(文科选做)4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[，]时，求f(x)的值域．参考答案1．【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x＝sin2x＋(1－cos2x)＋1.∴f()＝a，f()＝.由f()＝f()，有a＝，∴a＝3.∴f(x)＝sin2x－cos2x＋2＝sin(2x－)＋2.∴函数f(x)的值域为[2－，2＋]．(Ⅱ)设P(x，y)是f(x)图象上任意一点，则k＝f′(x)＝2cos(2x－)．∴|k|＝|f′(x)|≤＝|2|＝2.2.【解析】(1)由最低点为M(，－2)得A＝2.在x轴上相邻两个交点之间的距离为得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.由点M(，－2)在函数图象上得2sin(2×＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－.又φ∈(0，)，∴φ＝，故f(x)＝2sin(2x＋)．(2)∵x∈[，]，∴2x＋∈[，]，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[－1,2]．3.【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x＝sin2x＋(1－cos2x)＋1.∴f()＝a，f()＝.由f()＝f()，有a＝，∴a＝3.∴f(x)＝sin2x－cos2x＋2＝sin(2x－)＋2.∴函数f(x)的值域为[2－，2＋]．(Ⅱ)设P(x，y)是f(x)图象上任意一点，则k＝f′(x)＝2cos(2x－)．∴|k|＝|f′(x)|≤＝|2|＝2.
