备战数学应考能力大提升典型例题例1求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋3x2＋；(2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(3)y＝.解：(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋(3x2)′＋()′＝x4－4x2＋6x.(2)法一：∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(3)y′＝＝＝.例2设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是12,1,22773,,44baaba解得故f(x)＝x－.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0).令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)；令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.创新题型1.设函数，（1）证明：的导数；（2）若对所有x≥0都有，求a的取值范围.2．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围的三角形的面积为定值，并求出此定值．参考答案②，故在该区间为减函数，所以，则即与题意矛盾2.【解析】(1)f′(x)＝a－.于是解得或∵a，b∈Z，∴f(x)＝x＋.(2)证明：已知函数y1＝x，y2＝都是奇函数，∴函数g(x)＝x＋也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x＋＝(x－1)＋＋1，可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的．故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点，由f′(x0)＝1－，知过此点的切线方程为y－＝(x－x0)．令x＝1，得y＝，∴切线与直线x＝1交点为.令y＝x，得x＝2x0－1，∴切线与直线y＝x交点为(2x0－1,2x0－1)．直线x＝1与y＝x交点为(1,1)．从而所围的三角形的面积为·|2x0－1－1|＝·|2x0－2|＝2.∴所围的三角形的面积为定值2.
