备战数学应考能力大提升典型例题例1已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y＝f(x)的极大值．解：(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－b，∴由题意可知：f′(1)＝－4且f(1)＝－，即解得∴f(x)＝x3－x2－3x，f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.由此可知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(∞－，－1)－1(－1,3)3(3∞，＋)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x＝－1时，f(x)取极大值.例2已知函数f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．解：(1)f(x)的定义域为(0∞，＋)，f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝.当x∈(0∞，＋)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：xf′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以，f(x)在(0∞，＋)上最小值是f＝－.(2)当x∈时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；当x∈时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.下面讨论f(x)－m＝0的解：当m<－时，原方程无解；当m＝－或m≥0时，原方程有唯一解；当－0)，求函数在[1,2]上的最大值．参考答案(2)证明：不妨假设x1≥x2.由(1)知当a≤－2时，f(x)在(0∞，＋)上单调减少，所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，[即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4＝.于是g′(x)≤≤＝0.从而g(x)在(0∞，＋)上单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，故对任意x1，x2∈(0∞，＋)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.分析：通过求导先判断单调性再求最值．在求最值时，对a的情况要进行讨论．2.【解析】f(x)＝x2e－ax(a>0)，∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0，得0
