高考数学 应考能力大提升5.3VIP免费

备战数学应考能力大提升典型例题例1nS设是等差数列na的前n项和，已知434131SS与的等比中项为551S，434131SS与的等差中项为1，求数列na的通项．解:由已知得234534111()34511234SSSSS，即2113505222addad，解得101da或11254da1na或321255nan经验证1na或nan512532均满足题意，即为所求．例2设f(x)＝(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N*.(1)证明数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)求数列{bn}的前n项和．解：(1)证明：an＋1＝f(an)＝＝，∴＝＋，即－＝.∴是首项为1，公差为的等差数列．(2)由(1)知是等差数列，∴＝1＋(n－1).整理得an＝.(3)bn＝an·an＋1＝·＝a2.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝a2＝a2＝a2·＝.∴数列{bn}的前n项和为.创新题型1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.2.已知数列{an}中，a1＝5，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．3．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式log2(ax2－3x＋6)＞2的解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn；(2)求数列的前n项和Tn.参考答案1.【解析】(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知＝n，即an＝n·2n－1，Sn＝1＋2·21＋3·22…＋＋n·2n－1，两边同乘以2得2Sn＝2＋2·22…＋＋n·2n，两式相减得Sn＝－1－21－22…－－2n－1＋n·2n＝－(2n－1)＋n·2n＝(n－1)2n＋1.2【解析】(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.(2)方法一：假设存在实数λ，使得数列为等差数列，设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3，∴2×＝＋，∴＝＋.解得λ＝－1.事实上，bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列．方法二：假设存在实数λ，使得为等差数列．设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2bn＋1＝bn＋bn＋2(n∈N*)．∴2×＝＋.∴λ＝4an＋1－4an－an＋2＝2(an＋1－2an)－(an＋2－2an＋1)＝2(2n＋1－1)－(2n＋2－1)＝－1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列．3.【解析】(1)∵不等式log2(ax2－3x＋6)＞2可转化为ax2－3x＋2＞0，所给条件表明：ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，根据不等式解集的性质可知：方程ax2－3x＋2＝0的两根为x1＝1，x2＝b.利用根与系数的关系不难得出a＝1，b＝2.由此知an＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝n2.