备战数学应考能力大提升典型例题例1若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R，若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？解：设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，化简得a＝b，∵a与b不共线，∴⇒∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上．例2设a、b是不共线的两个非零向量,(1)若=a-3b,求证:A、B、C三点共线;(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.解:(1)证明:∵(3a+b)-(2a-b)=a+2b.而=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2∴与共线,且有公共端点B,∴A、B、C三点共线.[.Com](2)∵8a+kb与ka+2b共线,存在实数λ使得8a+kb=λ(ka+2b)(8-λk)a+(k-2λ)b=0,∵a与b是不共线的两个非零向量,∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.创新题型1.如图所示,△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC边上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求APPM的值.2.设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若OA�＝2a－b，OB�＝3a＋b，OC�＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；(3)设OM�＝ma，ON�＝nb，OP�＝αa＋βb，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，求证：＋＝1.参考答案2.解：(1)证明：∵AB�＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而BC�＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB�，∴AB�与BC�共线，且有公共端点B，∴A、B、C三点共线.(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，∵a与b不共线，8082220kk∴24.k(3)证明：∵M、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得MPPN�，∴1OMONOP��＝a＋b.∵a、b不共线，∴,11mn∴＋＝＋＝1.
