第五节抛物线抛物线的定义及其应用考向聚焦高考热点,主要考查与抛物线的定义有关的最值、距离、轨迹等问题,单独命题一般以选择题、填空题形式出现;大多渗透于解答题中,难度中档,所占分值4~5分备考指津训练题型:(1)与抛物线有关的轨迹问题,注意分析问题的能力的训练;(2)最值问题,注意转化与化归思想的培养.(3)距离问题,注意解题方法的训练1.(年辽宁卷,理3)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()(A)(B)1(C)(D)解析:如图:由抛物线定义知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=3,则梯形AA1B1B的中位线|CC1|=,从而AB中点C到y轴的距离为d=-=.故选C.答案:C.2.(年辽宁卷,理7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于()(A)4(B)8(C)8(D)16解析:由题意知F(2,0),准线方程为x=-2,直线AF的方程为y=-(x-2),∴A(-2,4),设P(x0,4),代入y2=8x,得x0=6,则|PF|==8,故选B.答案:B.有关抛物线问题,应特别注意抛物线定义的应用,即抛物线上点到焦点的距离与点到准线的距离可以相互转化.3.(年上海卷,理3)若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为.解析:动点P到定点F和到定直线x=-2距离相等,∴P点的轨迹为抛物线,=2⇒p=4,所以y2=8x.答案:y2=8x抛物线的标准方程与几何性质考向聚焦高考热点内容,主要从两个方面进行考查:(1)给出抛物线方程研究其几何性质;(2)利用几何性质求抛物线方程,一般为选择题、填空题,难度不大,所占分值5分左右4.(年四川卷,理8,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()(A)2(B)2(C)4(D)2解析:由题意知,此抛物线开口向右,∴可设其标准方程为y2=2px(p>0).又 点M在抛物线上且到焦点距离为3,∴点M到其准线的距离也为3,∴=3-2=1,p=2.∴抛物线方程为y2=4x.又 点M在抛物线上,∴=4×2=8,∴|OM|====2.故选B.答案:B.5.(年陕西卷,理2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是()(A)y2=-8x(B)y2=8x(C)y2=-4x(D)y2=4x解析:抛物线的准线方程为x=-2,则焦点为(2,0),∴=2,∴p=4,故抛物线的标准方程为y2=8x,故选B.答案:B.6.(年湖北卷,理4)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则()(A)n=0(B)n=1(C)n=2(D)n≥3解析:如图所示,由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称.过点F作直线y=(x-),y=-(x-)分别与抛物线有2个交点.∴等边三角形有△AFB和△A'FB'共2个,故选C.答案:C.7.(年浙江卷,理13)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为.解析:由已知F的坐标为(,0),则B点坐标为(,1),代入抛物线方程y2=2px得p2=2,p=,∴B点到抛物线准线的距离d=+=.答案:直线与抛物线的位置关系考向聚焦高考热点内容,(1)主要与向量、函数、不等式相结合考查焦点弦问题;(2)研究直线与抛物线的位置关系;(3)直线与抛物线相交时,考查借助弦长求参数或借助根与系数关系求弦长主观题、客观题均可能出现,难度中档偏上,所占分值4~8分备考指津训练题型:(1)直线与抛物线的位置关系,注重数形结合思想的训练;(2)直线与抛物线的相交弦问题,注重转化思想,“”“”设而不求法及点差法的训练,并注意判别式大于零这一隐含条件.8.(年安徽卷,理9,5分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()(A)(B)(C)(D)2解析:本题考查抛物线的性质,直线方程,直线与抛物线的位置关系,点到直线的距离公式以及三角形的面积.设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),抛物线的焦点F(1,0),准线方程x=-1,根据点A到焦点F的距离等于到准线的距离可知x1=3-1=2,代入抛物线方程得y2=8,不妨取y1=2,则A(2,2),则kAB=2,直线AB方程为y=2x-2,代入y2=4x得2x2-5x+2=0,∴x1+x2=,|AB|=+2=,又点O到直线AB的距离d==,所以S△AOB=××=.故选C.答案:C.根据抛物线定义可知抛物线上任一点到焦点的距离等于这点到准线的距离,可以把抛物线过焦点的弦长转化为过焦点的直线与抛物线两交点的坐标问题,这样比较容易求出弦长,然后利用点到直线的距离公式求三角形边...
