备战数学应考能力大提升典型例题例1如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D、E分别是棱AB、B1C1的中点，F是AC的中点，求DE、EF的长度．解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝＝，|EF|＝＝.例2已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点的轨迹．解：(1)设P(a,0,0)，则由已知，得＝，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8.解得a＝1.所以P点坐标为(1,0,0)．(2)设M(x,0，z)，则有＝.整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．创新题型1．在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P、Q两点间的最小距离．当点P(x，y，z)分别在面对角线A1C1、B1D1上运动时，动点P的竖坐标z不变，横坐标x、纵坐标y分别在[0,1]内取。参考答案解：由于S－ABCD是正四棱锥，所以P点在底面上的射影R在OC上，又底面边长为a，所以OC＝a，而侧棱长也为a，所以SO＝OC，于是PR＝RC，故可设P点的坐标为(－x，x，a－x)(x>0)，又Q点在底面ABCD的对角线BD上，所以可设Q点的坐标为(y，y,0)，因此P、Q两点间的距离PQ＝＝，显然当x＝，y＝0时d取得最小值，d的最小值等于，这时，点P恰好为SC的中点，点Q恰好为底面的中心．
