备战数学应考能力大提升典型例题例1已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为多少？解：设P点坐标为(x，y)，则|PC|＝.由勾股定理及|AC|＝1，得|PA|＝＝，从而S四边形PACB＝2S△PAC＝2·|PA|·|AC|＝|PA|＝.故欲求S四边形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)的距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方．即这个最小值d2＝2＝9，∴S四边形PACB最小值＝＝2.例2求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．(1)过原点；(2)有最小面积．分析：可考虑利用过直线与圆的交点的圆系方程来解决问题．解：(1)设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.①∵此圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2＋x－y＝0.(2)解法一：当半径最小时，圆面积也最小，对方程①左边配方，得2＋2＝2≥＋.∴当λ＝时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为2＋2＝.解法二：当圆心在直线2x＋y＋4＝0上时，圆面积最小，易求得圆心坐标为，代入直线方程得－2(1＋λ)－＋4＝0，解得λ＝.∴当λ＝时，此圆面积最小．故满足条件的圆的方程为x2＋y2＋x－y＋＝0.评析：联立直线与圆的方程，通过解方程组求出交点坐标．进而求出圆的方程计算繁琐．过直线与圆交点的圆系方程设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的交点的圆系方程．创新题型1．一束光线通过点M(25,18)射到x轴上，被反射到圆C：x2＋(y－7)2＝25上．(1)求通过圆心的反射光线方程；(2)求在x轴上入射点A的活动范围．2．设点C为曲线y＝(x>0)上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B.(1)证明：多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|EM|＝|EN|，求圆C的方程．答案1.解：∵圆心C(0,7)，半径r＝5，(1)M关于x轴的对称点N(25，－18)，由光的性质可知，过圆心的反射光线所在的直线就是过N、C两点的直线，则过N、C的直线方程x＋y－7＝0，即为所求．(2)设过N的直线方程为y＋18＝k(x－25)，即kx－y－25k－18＝0，当它为圆C的切线时，由＝5⇒k＝－或k＝－.∴过N与圆C相切的直线为y＋18＝－(x－25)或y＋18＝－(x－25)，令y＝0，得x＝或x＝1，∵A点活动范围在两切线与x轴的两交点之间，∴A点在x轴上的活动范围是.2.解：(1)证明：设点C(t>0)，因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B.所以，点E是直角坐标系原点，即E(0,0)．于是圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋.则A(2t,0)，B.由|CE|＝|CA|＝|CB|知，圆心C在Rt△AEB的斜边AB上，于是多边形EACB为Rt△AEB，其面积S＝|EA|·|EB|＝×2t×＝4.所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4.
