高考数学 应考能力大提升17.3VIP免费

备战数学应考能力大提升典型例题例1A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点；(3)求弦AB中点P的轨迹方程；(4)求△AOB面积的最小值．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)．(1)kOA＝，kOB＝.∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.∵y＝2px1，y＝2px2，∴·＋y1y2＝0.∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.(2)∵y＝2px1，y＝2px2，∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．∴＝，∴kAB＝.∴直线AB：y－y1＝(x－x1)．∴y＝＋y1－.∴y＝＋.∵y＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝＋.∴y＝(x－2p)．∴AB过定点(2p,0)．(3)如图，设OA：y＝kx，代入y2＝2px得：x＝0或x＝，∴A.同理，以－代k得B(2pk2，－2pk)．设中点坐标P(x0，y0)，∴.∵k2＋＝2＋2，∴＝2＋2，即y＝px0－2p2.∴中点P的轨迹方程为y2＝px－2p2.(4)设M(2p,0)，S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝|OM|(|y1|＋|y2|)＝p(|y1|＋|y2|)≥2p＝4p2，当且仅当|y1|＝|y2|＝2p时，等号成立．例2已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.由直线OA与l的距离d＝可得＝，解得t＝±1.因为－1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.创新题型1．已知抛物线C:y=2x2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N.(1)证明抛物线C在点N处的切线与AB平行;(2)是否存在实数k使,若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.2.已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且(λ>0),过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(1)证明为定值;(2)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.答案将y=2x2代入上式得2x2-mx+∵直线l与抛物线C相切,∴Δ=m2-8=m2-2mk+k2=(m-k)2=0,∴m=k,即l∥AB.(2)存在.假设存在实数k,使,则NA⊥NB.又∵M是AB的中点,∴|MN|=|AB|.由(1)知yM=∵MN⊥x轴,∴|MN|=|yM-yN|=.又|AB|=·|x1-x2|.∴16141816222kkk,解得k=±2,即存在k=±2,使.2.解:(1)由已知条件得F(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2).由(λ>0),即(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1),得有由y=,得y′=.经过A、B两点的切线方程分别是.解出两条切线交点M的坐标为,即.因此.所以为定值0.(2)由(1)知在△ABM中,AB⊥FM.|FM|=.又|AB|=|AF|+|BF|=(y1+1)+(y2+1)=y1+y2+2,即|AB|=λ+.于是S=f(λ)=|AB|·|FM|=,由于λ>0,故,当且仅当λ=1时等号成立.因此当λ=1时,△ABM的面积S有最小值4.