数学数学新课标（新课标（RJRJ）九年级上册）九年级上册22.1.122.1.1二次函数二次函数新知梳理新知梳理新知梳理新知梳理重难互动探究重难互动探究重难互动探究重难互动探究22.122.1二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质新知梳理新知梳理►►知识点一二次函数的定义知识点一二次函数的定义22.1.122.1.1二次函数二次函数一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.y＝ax2＋bx＋c►►知识点二用二次函数表示变量之间的关系知识点二用二次函数表示变量之间的关系22.1.122.1.1二次函数二次函数在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是.在实际问题中，自变量的取值要使有意义.全体实数实际问题重难互动探究重难互动探究探究问题一二次函数的判别探究问题一二次函数的判别22.1.122.1.1二次函数二次函数例1下列函数中，哪些是关于x的二次函数？（1）y＝9x2－x；（2）y＝－13x2；（3）y＝4－x＋x3；（4）y＝1x2＋x2；（5）y＝（x－1）2－（x＋1）（x－2）；（6）y＝ax2＋4x＋1.22.1.122.1.1二次函数二次函数解：根据二次函数的定义来判断.（1）（2）是关于x的二次函数；（3）y＝4－x＋x3中x的最高次数是3，不是二次函数；（4）y＝1x2＋x2中1x2是分式，不是二次函数；（5）y＝（x－1）2－（x＋1）（x－2）＝－x＋3中x的最高次数为1，不是二次函数；（6）y＝ax2＋4x＋1中的a可能为0，不一定是二次函数.［归纳总结］判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为最简形式，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件：（1）是整式；（2）自变量的二次项系数不为0；（3）是自变量的二次式.探究问题二用二次函数表示变量之间的关系探究问题二用二次函数表示变量之间的关系22.1.122.1.1二次函数二次函数例2暑假期间，908班n名同学约定每两个同学之间通电话一次，（1）写出互通电话的次数m与n之间的函数解析式，并指出m是n的什么函数；（2）当n＝10时，互通电话的次数是多少？解：（1）n名同学，其中一名同学可以打电话（n－1）次，这样n名同学共打出电话n（n－1）次.根据题意，每两个同学之间通电话一次，则互通电话的次数为12n（n－1），即m＝12n2－12n.m是n的二次函数.22.1.122.1.1二次函数二次函数（2）当n＝10时，m＝12×102－12×10＝45，∴互通电话的次数是45次.［归纳总结］实际问题中的变量关系问题常可通过建立函数模型来解决.常用二次函数模型来解决的实际问题有如下几种：（1）有些几何图形的面积、体积的计算问题；（2）在特定情况下，销售利润与售价的关系问题；（3）在特定情况下，银行存款本利与年利率的关系问题；（4）在特定情况下，总量与增长率（降低率）的关系问题；（5）一些物理问题.22.1.122.1.1二次函数二次函数［备选例题］一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为（x＋1）cm的小长方形，剩余部分的面积为ycm2.（1）写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数；（2）当x的值为2，4时，剩余部分的面积分别是多少？［解析］先画出示意图，再根据“剩余面积＝正方形面积－小长方形面积”来列关系式.22.1.122.1.1二次函数二次函数解：（1）y＝122－2x（x＋1），即y＝－2x2－2x＋144.∴y是x的二次函数.（2）当x＝2，4时，剩余部分的面积分别为132cm2，104cm2.［点评］几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用含x的代数式表示出来.
