《学案与测评》2011年高考数学总复习 第十五单元第三节 数学归纳法精品课件 苏教版VIP免费

第十五单元推理与证明知识体系第三节数学归纳法(*)基础梳理1.数学归纳法的适用对象一般地,对于某些与有关的数学命题,我们用数学归纳法公理.2.数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)如果当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;(2)假设当时结论正确,证明当n=时结论也正确.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.正整数n=k(k∈N*,且k≥n0)k+1典例分析题型一与自然数n有关的等式的证明【例1】用数学归纳法证明：分析用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过程的完整性和规范性.1111...24466822241nnnn证明（1）当n=1时，左边=12×4=18,右边=18,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,成立;1111...24466822241kkkk当n=k+1时，所以当n=k+1时，等式也成立.综上可得，等式对于任意n∈N*都成立.11111...24466822222242114141241211141242411kkkkkkkkkkkkkkkkkkk学后反思用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明.举一反三1.求证:(其中n∈N*).231111111...1222222nnn证明：(1)当n=1时,左边,右边=,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即那么当n=k+1时,左边=这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)、(2)可知,等式对任何n∈N*都成立.1211122231111111...1222222kkk231111111111111211...1112222222222kkkkkkk右边题型二用数学归纳法证明整除问题【例2】求证：（n∈N*）能被9整除.3171nn分析当n=1时，原式=27能被9整除.因此要研究与之间的关系，以便利用归纳假设能被9整除来推证也能被9整除.3171kk13471kk3171kk13471kk证明设（1）f(1)=(3×1+1)×7-1=27能被9整除，因此当n=1时命题成立.(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立，即(k∈N*)能被9整除.则3171nfnn3171kfkk11347131719237kkkfkfkkkk由于f(k)能被9整除，能被9整除，所以能被9整除.由（1）、（2）知，对所有正整数n,能被9整除.学后反思整除问题一般是将n=k+1时的结论设法用n=k时的结论表达，而后利用假设来讨论判断是否满足整除.9237kk19237kfkfkk3171nfnn举一反三2.用数学归纳法证明：(n∈N*)能被x+2整除.13nx证明：（1）当n=1时，1-(3+x)=-2-x=-(x+2)，能被x+2整除.（2）假设当n=k时，能被x+2整除,则可设=(f(x)为k-1次多项式).当n=k+1时，能被x+2整除.综上可知，对任意n∈N*,1-(3+x)n能被x+2整除.13kx13kx23xxfx1313313121323223213kkxxxxxfxxxxfxxxxfxxxfx题型三用数学归纳法证明不等式【例3】求证：(n≥2,n∈N*).分析和正整数有关，因此可用数学归纳法证明.1115...1236nnn证明（1）当n=2时，左边=,不等式成立.（2）假设当n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立，即成立,则当n=k+1时,所以当n=k+1时不等式也成立.由（1）（2）可知原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立.111157534566061115...1236kkk111111...111233132331111111...123313233151111511536313233163316kkkkkkkkkkkkkkkkkkk学后反思在用数学归纳法证明不等式时，往往需综合运用不等式证明的其他方法，如比较法、放缩法、配方法、分析法、基本不等式等.举一反三3.求证：(n∈N*).111...11231nnn证明：（1）当n=1时...