D3_1微分中值定理VIP免费

第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理与导数的应用目录上页下页返回结束一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章目录上页下页返回结束费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在)(或证:设则00费马证毕xyO0x目录上页下页返回结束罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使.0)(f证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点xyab)(xfyO目录上页下页返回结束若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使.0)(f注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.则由费马引理得x1yOx1y1Ox1yOxyab)(xfyO例如,目录上页下页返回结束使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且)(limxfax)(limxfbx在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.目录上页下页返回结束例1.证明方程,15)(5xxxf,0)(0xf有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则)(xf在[0,1]连续,且由介值定理知存在,)1,0(0x使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有在以)(xf10,xx为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在10,xx至少存在一点但矛盾,故假设不真!设目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理)((1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使.)()()(abafbff思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.,)(babbfaafb)()(拉氏0)()()(abafbff证毕xyab)(xfyOxyabafbf)()(目录上页下页返回结束),(,)()()(baabafbff拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点格朗日中值公式,得0由的任意性知,在I上为常数.)10()(0xxxfy令则目录上页下页返回结束例2.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:),(x,2πcotarcarctanxx经验:欲证Ix时,)(0Cxf只需证在I上,0)(xf,0Ix且.)(00Cxf使目录上页下页返回结束例3.证明不等式证:设,)1ln()(ttf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx因此应有目录上页下页返回结束三、柯西(Cauchy)中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足:)()(aFbF))((abFba0问题转化为证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西构造辅助函数目录上页下页返回结束证:作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,],[)(内可导在上连续在则babax且使即由罗尔定理知,至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考:柯西定理的下述证法对吗?),(,))(()()(baabfafbf),(,))(()()(baabFaFbF两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.目录上页下页返回结束柯西定理的几何意义:)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:弦的斜率切线斜率xyO目录上页下页返回结束)0()1(FF例4.设,)(2xxF至少存在一点使证:问题转化为证设则)(,)(xFxf在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使)(F01即证明目录上页下页返回结束)e,1(,)()()1((e))1((e)FfFFff例5.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.xxFxxfln)(,lnsin)(则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此11lncos即分析:目录上页下页返回结束例5.试证至少存在一点使法2令xxflnsin)(则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定...