D7_8常系数非齐次线性微分方程VIP免费

目录上页下页返回结束常系数非齐次线性微分方程第八节型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)([e)(型]sin)(~xxPn一、二、第七章目录上页下页返回结束)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法目录上页下页返回结束)([exQx)()2(xQp])()(2xQqp)(exPmx一、型)(e)(xPxfmx为实数,)(xPm设特解为,)(e*xQyx其中为待定多项式,)(xQ])()([e*xQxQyx])()(2)([e*2xQxQxQyx代入原方程,得为m次多项式.)(xfyqypy(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为.)(e*xQymxQ(x)为m次待定系数多项式目录上页下页返回结束(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,,02p)(xQ则是m次多项式,故特解形式为xmxQxye)(*2小结对方程①,)2,1,0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.)(xQ)(xPm)()(2xQqp即即当是特征方程的k重根时,可设特解目录上页下页返回结束例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得31,110bb于是所求特解为0,0目录上页下页返回结束例2.的通解.解:本题特征方程为,0652rr其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系数,得1,2110bb因此特解为.e)1(*221xxxy代入方程得xbbxb01022所求通解为.e)(2221xxx,2目录上页下页返回结束例3.求解定解问题0)0()0()0(123yyyyyy解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故21322CC故对应齐次方程通解为1CYxCe2xC23e原方程通解为1CyxCe2xC23e由初始条件得,0目录上页下页返回结束于是所求解为xyxx21e41e432解得41143321CCC目录上页下页返回结束二、型xxPxxPxfnlxsin)(~cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步求出如下两个方程的特解xmxPyqypy)i(e)(yqypy分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点xmxP)i(e)(目录上页下页返回结束第一步利用欧拉公式将f(x)变形xxfe)(i2)(~2)(xPxPnlx)i(ei2)(~2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(则令,,maxlnm)(xPl2eeiixx)(~xPni2eeiixx目录上页下页返回结束第二步求如下两方程的特解i是特征方程的k重根(k=0,1),xmkxQxy)i(1e)())((次多项式为mxQm故xmxPyqypy)i(111e)()()(等式两边取共轭:xmxPyqypy)i(111e)(1y这说明为方程③的特解.xmxPyqypy)i(e)(②xmxPyqypy)i(e)(③设则②有特解:目录上页下页返回结束第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:11*yyyxkxexmxmQQiiee原方程yqypyxxPxxPnlxsin)(~cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQmxkxexRmcosxRmsin~mmRR~,其中均为m次多项式.xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(目录上页下页返回结束第四步分析的特点yxRxRxyyymmxksin~cose11因11yy*yy所以mmRR~,因此均为m次实多项式.11yyy本质上为实函数,11yy目录上页下页返回结束小结:xxPxxPnlxsin)(~cos)(e对非齐次方程yqypy),(为常数qpxRxRxymmxksin~cose*则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),i上述结论也可推广到高阶...