【成才之路】-学年高中数学2.3.2离散型随机变量的方差同步测试新人教A版选修2-3一、选择题1．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1、2、3，则D(3X＋5)＝()A．6B．9C．3D．4[答案]A[解析]E(X)＝(1＋2＋3)×＝2，D(X)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×＝，∴D(3X＋5)＝9D(X)＝6.2．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2B．2－4C．3·2－10D．2－8[答案]C[解析]E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝C··()11＝3·2－10.3．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)、D(X)的值分别是()A．0和1B．p和p2C．p和1－pD．p和(1－p)p[答案]D[解析]由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．4．(·浙江余姚中学高二期中)已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E(η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m的值为()ξ1234PmnA.B．C．D．[答案]A[解析] E(η)＝E(10ξ＋2)＝10E(ξ)＋2＝20，∴E(ξ)＝1.8即：1×＋2m＋3n＋4×＝1.8，∴2m＋3n＝①又m＋n＝1－－＝②，由①②得，m＝.5．随机变量X～B(100,0.2)，那么D(4X＋3)的值为()A．64B．256C．259D．320[答案]B[解析]由X～B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256，故选B.6．已知X的分布列如下表：X－1012Pabc且a、b、c成等比数列，E(X)＝，则a＝()A．B．C．D．[答案]C[解析]由分布列的性质得a＋b＋c＝① E(X)＝，∴－a＋c＋＝，∴a－c＝，②又a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，③将②代入①、③得，由④得b＝－2a，代入⑤得，a＝或a＝，当a＝时，a＋＝>0，不合题意舍去，∴a＝.二、填空题7．某射手击中目标的概率为p，则他射击n次，击中目标次数X的方差为________．[答案]np(1－p)[解析] X～B(n，p)，∴D(X)＝np(1－p)．8．(·浙江理，12)随机变量ξ的取值为0、1、2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.[答案][解析]设ξ＝1的概率为P.则E(ξ)＝0×＋1×P＋2(1－P－)＝1，∴P＝.故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.9．(·汶上高二检测)已知随机变量X的分布列为X01xPm且E(X)＝1.1，则D(X)＝________.[答案]0.49[解析]由题意知解得所以D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.三、解答题10．(·北京理，16)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)[解析]设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)，根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0、1、2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.所以X的分布列为：X012P故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．一、选择题11．某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为()A．B．C．D．[答案]A[解析]该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P1＝C·()2·，三次全部击中目标的概率是P2＝C·()3，所以此人至少有两次击中目标的概率是P＝P1＋P2＝C·()2·＋C·()3＝.12．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察ξ，η的分布列分别如表一，表二所示．据此判定()表一ξ0123P0.700.20.1表二ξ0123P0.60.20.10.1A.甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与...
