【成才之路】届高考数学二轮复习专题2第2讲三角变换与解三角形素能训练（文、理）一、选择题1．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[答案]B[解析] sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0， sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为()A.B.C.或D.或[答案]D[解析]由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得，·tanB＝，再由余弦定理cosB＝得2cosB·tanB＝，即sinB＝，∴角B的值为或，故应选D.3．(文)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为()A.B．－C.D．－[答案]A[解析]由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，∴sinA＝3sinAcosB， sinA≠0，∴cosB＝.(理)(·东北三省四市联考)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是()A．－B.C.D．－[答案]B[解析]由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝，故选B.4．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3[答案]A[解析]本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式．由已知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.故选A.[点评]运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．5．(·哈三中二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2－c2＝2b，＝3，则b等于()A．3B．4C．6D．7[答案]B[解析] ＝3，∴sinAcosC＝3sinCcosA，∴sinB＝sin(A＋C)＝4sinCcosA，∴b＝4c·，∴b2＝2(a2－c2)＝4b， b>0，∴b＝4.6．(文)函数y＝cos(x＋)＋sin(－x)具有性质()A．最大值为1，图象关于点(，0)对称B．最大值为，图象关于点(，0)对称C．最大值为1，图象关于直线x＝对称D．最大值为，图象关于直线x＝对称[答案]B[解析]y＝－sinx＋cosx－sinx＝－(sinx－cosx)＝－sin(x－)，∴最大值为，图象关于点(，0)对称．(理)给出下列四个命题：①f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z；②函数f(x)＝sinx＋cosx最大值为2；③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π；④函数f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函数．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]①由2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋(k∈Z)，即f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z，正确；②由f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)知，函数的最大值为2，正确；③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函数的周期为π，故③错误；④函数f(x)＝sin(x＋)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故④错误．二、填空题7．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．[答案]15[解析]设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝15.8．(文)(·新课标Ⅱ理，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．[答案]1[解析] f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ＝sinx≤1.∴最大值为1.(理)(·天津理，12)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．[答案]－[解析] 2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，又 b－c＝a，∴b＝a，c＝a，∴cosA＝＝＝－.9．在△ABC中，(AB－3AC)⊥CB，则角A的最大值为________．[答案][解析]由已知可得(AB－3AC)·CB＝0，AB·CB＝3AC·CB，由数量积公式可得accosB＝3abcos(π－C)＝－3abcosC，可化为ccosB＝－3bcosC，由正弦定理可得sinCcosB＝－3sinBcosC，化简得sinA＝－2sinBcosC，可得cosC<0，角C为钝角，角A为锐角，又sinA＝sin(C－B)－sin(C＋B)，即有sinA＝sin(C－B)≤，综上，0
