【成才之路】届高考数学二轮复习专题3第2讲数列的应用素能训练（文、理）一、选择题1．(·重庆模拟)设{an}是等比数列，函数y＝x2－x－的两个零点是a2、a3，则a1a4＝()A．B．1C．－1D．－[答案]D[解析]由条件得，a1a4＝a2a3＝－.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)，Tn是数列{bn}的前n项和，则T9等于()A.B.C.D.[答案]D[解析] 数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，∴n＝1时，a1＝2；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，∴an＝2n(n∈N*)，∴bn＝＝＝(－)，T9＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝×(1－)＝.3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝，则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为()A．305B．315C．325D．335[答案]D[解析] f(1)＝，f(2)＝＋，f(3)＝＋＋，…，f(n)＝＋f(n－1)，∴{f(n)}是以为首项，为公差的等差数列．∴S20＝20×＋×＝335.4．等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是()[答案]C[解析] Sn＝na1＋d，∴Sn＝n2＋(a1－)n，又a1>0，公差d<0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．[点评]可取特殊数列验证排除，如an＝3－n.5．(文)已知函数f(x)＝log2x，等比数列{an}的首项a1>0，公比q＝2，若f(a2·a4·a6·a8·a10)＝25，则2f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a)等于()A．21004×B．21005×C．21005×D．21006×[答案]D[解析]f(a2·a4·a6·a8·a10)＝log2(a2·a4·a6·a8·a10)＝log2(aq25)＝25，即a·q25＝225，又a1>0，q＝2，故得到a1＝1.2f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a)＝2f(a1)·2f(a2)·…·2f(a)＝2log2a1·2log2a2·…·2log2a＝a1·a2·…·a＝a·q1＋2＋…＋＝1×2＝21006×.故选D.(理)(·成都市二诊)已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝.若函数f(x)＝sin2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为()A．0B．－9C．9D．1[答案]C[解析]据已知得2an＋1＝an＋an＋2，即数列{an}为等差数列，又f(x)＝sin2x＋2×＝sin2x＋1＋cosx，因为a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，故cosa1＋cosa9＝cosa2＋cosa8＝…＝cosa5＝0，又2a1＋2a9＝2a2＋2a8＝…＝4a5＝2π，故sin2a1＋sin2a9＝sin2a2＋sin2a8＝…＝sin2a5＝0，故数列{yn}的前9项之和为9，故选C.6．(文)(·辽宁协作联校三模)已知数列{an}的通项公式an＝sin，则a1＋a2＋…＋a＝()A．B．C．D．[答案]C[解析]数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝(sin＋sinπ＋sin＋sin2π)＝0，又 ＝4×503＋2，∴a1＋a2＋…＋a＝a1＋a2＝sin＋sinπ＝.(理)已知an＝，数列{an}的前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是()A．an与Sn都有最大值B．an与Sn都没有最大值C．an与Sn都有最小值D．an与Sn都没有最小值[答案]C[解析]画出an＝的图象，点(n，an)为函数y＝图象上的一群孤立点，(，0)为对称中心，S5最小，a5最小，a6最大二、填空题7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(m)．[答案][解析]设放在第x个坑边，则S＝20(|x－1|＋|x－2|＋…＋|20－x|)由式子的对称性讨论，当x＝10或11时，S＝.当x＝9或12时，S＝20×102＝2040，…，当x＝1或19时，S＝3800.∴Smin＝(m)．8．(·广东理，13)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.[答案]50[解析] a10a11＋a9a12＝2e5，∴a1·a20＝e5.又 lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]＝ln(e5)10＝lne50＝50.注意等比数列性质：若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq，对数的性质logamn＝nlogam.三、解答题9．(·天津理，19)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．[解析](1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4...
