高考数学一轮复习第1节直线的方程VIP专享VIP免费

1/16第1节直线的方程考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).2.直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α.(2)计算公式：①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝y2－y1x2－x1.②若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝yx.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线2/16点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α00<α<π2π2π2<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.()解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.答案(1)×(2)×(3)×(4)√3/162.(老教材必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________.解析由题意得3m－61＋m＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，整理得12x－y－18＝0.答案12x－y－18＝03.(老教材必修2P101B2改编)若方程Ax＋By＋C＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________.解析由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A≠0且B≠0.答案A≠0且B≠04.(2020·西安调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为()A.30°B.45°C.120°D.150°解析由题意得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tanα＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°.答案B5.(2020·重庆诊断)已知直线l经过A(2，1)，B(1，m2)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是()A.[0，π)B.0，π4∪π2，πC.0，π4D.π4，π2∪π2，π解析直线l的斜率k＝1－m22－1＝1－m2，因为m∈R，所以k∈(－∞，1]，所以直线的4/16倾斜角的取值范围是0，π4∪π2，π.答案B6.(2020·济南调研)过点(－3，4)，在x轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______.解析由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9(舍).故所求直线的方程为4x－y＋16＝0.答案4x－y＋16＝0考点一直线的倾斜角与斜率典例迁移【例1】(一题多解)(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.解析法一设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－3，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. A，B两点在直线l的两侧或其...