1/17第1节变化率与导数、导数的计算考试要求1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数；6.会使用导数公式表.知识梳理1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝f（x＋Δx）－f（x）Δx.2/173.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0，a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝1xlna4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.[常用结论与微点提醒]1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2.1f（x）′＝－f′（x）[f（x）]2(f(x)≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.3/17诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cosx.()(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()(4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.()解析(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)＝sin(－x)＝－sinx，则f′(x)＝－cosx，(2)错.(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(老教材选修2－2P19B2改编)已知函数f(x)＝xx＋2，则函数在x＝－1处的切线方程是()A.2x－y＋1＝0B.x－2y＋2＝0C.2x－y－1＝0D.x＋2y－2＝0解析由f(x)＝xx＋2，得f′(x)＝2（x＋2）2，又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.答案A3.(多填题)(老教材选修2－2P3问题2改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速4/17度a＝________m/s2.解析v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.答案－9.8t＋6.5－9.84.(2019·全国Ⅱ卷)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A.x－y－π－1＝0B.2x－y－2π－1＝0C.2x＋y－2π＋1＝0D.x＋y－π＋1＝0解析设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴曲线在点(π，－1)处的切线斜率k＝f...
