小专题利用垂径定理求解本课是在学生已经学习了垂径定理及其推论基础上，开始并应用垂径定理及其推论解决问题．内容说明•学习目标：1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算和作图问题；2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．•学习重点：垂径定理及其推论应用求解．DOCAEB垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.知二推三1．基本模型rdhl2a1．d+h=r3．2+h2=l22．2+d2=r2)2(a)2(a类型1.两边(直接勾股)类型2.一边一角（直接口算）类型3.非以上两类（设未知数，方程思想解决问题）下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEB图1图2图3图42．模型变化1.O⊙半径为5，弦ABCD∥，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为()A．1B．7C．1或7D．3或43．母题分析1.O⊙半径为5，弦ABCD∥，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为()3．母题分析解：（1）当AB和CD在圆心O的两侧时：∵OE⊥AB∴AE=BE=1/2*6=3，∵OF⊥CD，∴CF=DF=1/2*8=4在RT△AEO中：OE2+AE2=AO2即：OE=AO2-AE2=4在RT△CFO中：OF2+CF2=CO2即：OE=AO2-AE2=3∴EF=OE+OF=3+4=7（1）当AB和CD在圆心O的同侧时：EF=OE-OF=4-3=1变式1:石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是80m,拱高（弧的中点到弦的距离)为20m，（1）求主桥拱的半径.（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米？4．变式反馈ADFBE变式2一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图）此时的水面宽AB为0.6米，（1）求此时的水深（即阴影部分的弓高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度为多少？5．变式加强解决问题变式3如图:在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°（1）若MP=3，NP=5，求AB的长．（2）若AP=2，BP=6，求MN的长.变式加强解决问题(1)作OH⊥MN于H，连接ON，则HM=HN，∵MP=3，NP=5∴MN=8∴HM=HN=4，∴PH=1,在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=1，在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，∴ON=∴AB=2ON=2如图，在⊙O中，ABAC⊥，且AB＝AC，ODAB⊥，OEAC.⊥求证：四边形ADOE是正方形．6．母题再现证明：∵ODAB⊥，OEAC,ABAC⊥⊥∴∠AE0=∠0=∠AD0=∠EAD=90°∴四边形ADOE是矩形∵ODAB⊥，OEAC⊥AE=1/2ACAD=1/2AB又∵AC=AB∴AE=AD∴矩形ADOE是正方形变式1：如图，半径为的⊙O内两条互相垂直的、弦AB、CD交于点P，AB=8，CD=6，则求OP的值为多少？变式2：如图:圆M交x轴于A(-1，0)，B(3，0)，交y轴于C（0，-3），D(0，1)两点，则点M的坐标_______.变式加强解决问题变式3：如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2．（1）求⊙O的直径AE的长；（2）求EC的长．变式加强解决问题解：（1）∵OD⊥弦AB，AB=8，∴AC=4，设⊙O的半径OA=r，∴OC=OD﹣CD=r﹣2，在Rt△OAC中，r2=（r﹣2）2+42，解得：r=5，∴AE=2r=10；(2)连结BE，如图:∵OD=5，CD=2，∴OC=3，∵AE是直径，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE=2OC=6，在Rt△CBE中，CE=2．变式4：如图，∠C=90°，以AC为半径的圆C与AB相交于点D．若AC=3，CB=4，求BD的长。变式加强解决问题解：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，点C作CEAB⊥于点E，则AD=2AE，∵由等面积法得：AC.BC=AB.CE即：3X4=5XCE,CE=2.4在RT三角形AEC中:AC=3,CE=2.4CE2+AE2=AC2AE=1.8AD=3.6DB=AB-AD=5-3.6=1.4变式5：．如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12米，拱顶离水面的高CD为3米，现有一艘宽9米，船舱顶部为长方形，并且高出水面1.8米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？（此图仅供参考）。变式加强解决问题内容：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法．②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—（结合）勾股定理—建立方程．7．归纳小结
