高中数学 第三章 导数应用章末总结 北师大版选修2-2VIP免费

【步步高学案导学设计】-学年高中数学第三章导数应用章末总结北师大版选修2-2知识点一导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”绝对不能用“∪”连接．例1求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝＋cosx；(2)f(x)＝x(x－a)2.知识点二导数与函数的极值极值反映函数在某个区间内函数值的变化情况，是一个局部观念，一个函数在定义域内可以有多个极值．极值可以结合函数的单调性，利用导数求得．求可导函数f(x)的极值步骤：①求导数f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③根据f′(x)的根得出单调区间，由f′(x)在各区间上取值的正负可确定并求出函数f(x)的极值．例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围是(1,3)，求函数f(x)的解析式和极大值．知识点三导数与函数最值求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．例3设0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．例4已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．例5已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)0，解得2kπ－0时，x1x2，∴所求单调递增区间为(－∞，a)，，单调递减区间为.③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，所求单调区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是增加的．例2解由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)(a<0)．∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数；在(1,3)上f′(x)>0，f(x)是增函数，在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数．因此f(x)在x0＝1处取得极小值－4，在x＝3处取得极大值．∴.解得a＝－1，b＝6，c＝－9.∴f(x)＝－x3＋6x2－9x.则函数f(x)在x＝3处取得极大值f(3)＝0.例3解令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0，a)a(a,1)1f′(x)＋0－0＋f(x)－1－a＋bb－＋b1－a＋b从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小．因为f(0)－f(1)＝a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b.所以b＝1.又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，所以－a＝－，所以a＝.故a＝，b＝1.例4解f′(x)＝2x－＝.要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)...