§3计算导数课时目标1.会计算函数在一个点处的导数.2.理解导函数的概念.3.了解导数公式表．1．计算函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的步骤：(1)计算函数的增量：Δy＝f(Δx＋x0)－f(x0)；(2)确定平均变化率：＝；(3)当Δx趋于0时，得到导数：f′(x0)＝lim.2．导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝________________，则f′(x)为f(x)的__________，简称导数．3．导数公式表函数导函数函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝sinxy′＝cosxy＝xα(α为实数)y′＝αxα－1y＝cosxy′＝－sinxy＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlna特别地(ex)′＝exy＝tanxy′＝y＝logax(a>0，a≠1)y′＝特别地(lnx)′＝y＝cotxy′＝－一、选择题1．已知函数f(x)＝，则f′(x)等于()A．－B．0C.D.2．曲线y＝－在点处的切线方程为()A．x－4y－4＝0B．x－y－4＝0C．x－4y＝0D．2x－4y－4＝03．函数y＝3x2＋2x＋1在点x＝1处的导数为()A．3B．7C．8D．14．曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是()A．(0,0)B．(2,4)C.D.5．函数y＝(x－1)2的导数是()A．(x－1)2B．2(x－1)C．2(1－x)D．－26．y＝cosx在点x＝处的导数为()A.B．－C．－D.二、填空题7．函数y＝5x＋4的导数为________．8．函数f(x)＝x2＋3x导数为5的点是________．9．曲线y＝lnx在x＝1处的切线斜率为________．三、解答题10．已知函数y＝x2＋4x，求x＝1,2处的导数值．11.已知f(x)＝，利用导数公式求f′(2)．能力提升12．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′＝－；④′＝.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．313．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．1．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．2．可以利用导数公式计算函数在某点处的导数．答案知识梳理2.lim导函数作业设计1．B2．A[∵f′(2)＝，∴所求切线方程为y＋＝(x－2)，即x－4y－4＝0.]3．C4．D[设切点坐标为(x0，x)，则tan＝1＝2x0.∴x0＝，所求点为.]5．B[∵y＝x2－2x＋1，∴y′＝2x－2＝2(x－1)．]6．C[由导数公式，y′＝－sinx，∴f′＝－sin＝－.]7．58．(1,4)9．1解析y′＝，∴f′(1)＝1.10．解f′(1)＝lim＝lim＝lim＝6.f′(2)＝lim＝lim＝8.11．解∵f′(x)＝(logx)′＝＝，∴f′(2)＝.12．B[因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sin＝，而′＝0，所以②错误；′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；′＝(－x－)′＝x－＝，所以④正确，故选B.]13．解由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得：x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0要使方程对任意x恒成立，则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
