《学案与测评》2011年高考数学总复习 第八单元第四节 基本不等式及其应用精品课件 苏教版VIP免费

第八章不等式知识体系第四节基本不等式及其应用基础梳理2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R).(2)≥(a,b同号).(3)ab≤(a,b∈R).baba2)2ba(a≥0,b≥0a=b2ab21.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.ab2ab3.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x+y有值是.(简记:积定和最小)(２)如果和x+y是定值p,那么当且仅当时,xy有是.(简记:和定积最大)p24p2典例分析题型一证明不等式【例1】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:≥9.c1b1a1x=y最小最大x=y证明=(a+b+c)+(a+b+c)+(a+b+c)=3++++++=≥3+2+2+2=9.c1b1a1a1b1c1学后反思本题如果改为a>0,b>0,c>0,求(a+b+c)·（）≥9就比较明显.用a+b+c=1的条件（a+b+c）“隐”去，造成了思考上的困难,因此应注意“1”的代换.构造基本不等式，使其积为定值，并使得等号同时成立.abacbabccbca)cbbc()caac()baab(3c1b1a1分析将a+b+c=1代入不等式左边,构造基本不等式模型,再利用基本不等式证明.举一反三1.设a＞0,b＞0,c＞0,求证:222abcabcbca证明: a＞0,b＞0,∴同理,,∴即2222aabbabb22bcbc22caca222abcabcbca222222abcabcabcbca题型二求最值【例2】(1)设00,y>0,且x+y=1,求的最小值.3x)3x(8ya4a3y2x8分析(1)由00,8-3x>0.由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得(2)原式变为,再讨论a-4的正负.(3)由,再用基本不等式求最值.16]23x)(83x[3x)3x(824)4a(4a3yx2xy810)yx)(y2x8()y2x8(y2x8解(1) 02>0,∴,当且仅当3x=8-3x,即时取等号,∴当时,的最大值是4.42823x)(83x3x)3x(8y34x34x3x)-3x(8y(2)显然a≠4,当a>4时,a-4>0,∴,当且仅当时,取等号;43244)(a4a324)(a4a3a4a334即a4,a4a3(3) x>0,y>0,且x+y=1,∴,当且仅当,即x=2y时等号成立，∴当时，有最小值18.当a<4时,a-4<0,∴，当且仅当,即a=4-时,取等号.∴的取值范围是(-∞,-+4]∪[+4,+∞).4a)(4a4324a)](4a43[44)(a4a3a4-a3432a)(4a433a4a3323218yx2xy82yx2xy810yxy2x8y2x8y2xx8y31y,32xy2x8学后反思(1)在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.本题第(2)小题中+a虽不是定值,但变形为+(a-4)+4即可发现×(a-4)=3为定值,故可用基本不等式求之.分式函数求最值,通常化成y=mg(x)++B(A>0,m>0),g(x)恒正或恒负)的形式,然后运用基本不等式来求最值.4a34a34a3g(x)A(2)第(3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式求最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常见的错解为： x>0,y>0,∴.此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件和x=y同时成立是不可能的.所以在不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一条件下进行放缩,放缩时还要注意目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况.在第(2)小题中当a＜4,即a-4＜0时,要用基本不等式必须前面添负号变为正.16xy2xy162y))(xy2x8(y2x8举一反三2.求f(x)=+x的值域.12x122xx解析：由已知得(1)若x>2,则x-2>0.故当且仅当,即x=3时，取等号.(2)若x<2,则x-2<0.故所以f(x)≤0,当且仅当,即x=1时，取等号.由（1）、(2)可知，的值域为（-∞,0\]∪\[4,+∞）.11(2)222fxxxxx11(2)2222422fxxxxx111(2)2(2)22220222fxxxxxxx122xx12fxxx分析这是一道建筑工程类问题，解决本题的突破点是将总费用分成三个部分：（1）建花坛MNPQ的费用；(2)阴影部分铺...