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第40课时操作探究型问题考向互动探究考向互动探究第40课时┃操作探究型问题操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等实验,猜想获得数学结论的研究性活动,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式,需要动手操作、合理猜想和验证.常见类型:(1)操作设计问题;(2)图形剪拼;(3)操作探究;(4)数学建模.解题策略:运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法.考向互动探究探究一折叠剪拼操作探究型问题第40课时┃操作探究型问题考向互动探究例1[2013·北京]阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图40-1①所示,在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.图40-1考向互动探究第40课时┃操作探究型问题小明发现:分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图40-1②).请回答:(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为________;(2)求正方形MNPQ的面积;(3)参考小明思考问题的方法,解决问题:如图40-2,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ,若S△RPQ=33,则AD的长为________.图40-2a考向互动探究第40课时┃操作探究型问题解(2)四个等腰直角三角形面积和为a2,正方形ABCD的面积为a2,∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4×12×12=2.(3)23.提示:模仿小明的操作,向正三角形外面补出三个“尖角三角形”,如图.这样,外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积!考向互动探究第40课时┃操作探究型问题(1)△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形,拼成一个新的正方形怎么拼?边长多少?动手试试.(2)要求正方形MNPQ的面积,可以利用转化思想,外面的4个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积.(3)依图40-1②的作法补全图40-2,外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积.例题分层分析此类问题按照要求把一个图形先分成若干块,然后拼接成一个符合条件的图形,常常利用平移、旋转、轴对称等变换进行作图.解题方法点析考向互动探究第40课时┃操作探究型问题探究二中心对称操作探究问题例2[2013·陕西]问题探究(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M),使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由.图40-3考向互动探究第40课时┃操作探究型问题问题解决(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,点P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分?若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由.解(1)如图所示.考向互动探究第40课时┃操作探究型问题(2)如图,连接AC、BD相交于点O,作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点,过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点,则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分.理由如下: 点O是正方形ABCD的对称中心,∴AP=CQ,EB=DF.在△AOP和△EOB中, ∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠AOE,∴∠AOP=∠BOE. OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°,∴△AOP≌△BOE.∴AP=BE=DF=CQ,∴AE=BQ=CF=PD.设点O到正方形ABCD一边的距离为d,则12(AP+AE)d=12(BE+BQ)d=12(CQ+CF)d=12(PD+DF)d.∴S四边形APOE=S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形FOPD.∴直线EF、OM将正方形ABCD的面积四等分.考向互动探究第40课时┃操作探究型问题(3)存在.当BQ=CD=b时,PQ将四边形ABCD的面积二等分.理由如下:如图,延长BA到点E,使AE=b,延长CD到点F,使DF=a,连接EF. BE綊CF,BE=BC=a+b,∴四边形EBCF是菱形.连接BF交AD于点M,则△MAB≌△MDF.∴AM=DM,∴P、M两点重合.∴P点是菱形EBCF对角线的交点.在BC上截取BQ=CD=b,则CQ=AB=a.设点P到菱形EBCF一边的距离为d,则12(AB+BQ)d=...

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