第40课时操作探究型问题考向互动探究考向互动探究第40课时┃操作探究型问题操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证．常见类型：(1)操作设计问题；(2)图形剪拼；(3)操作探究；(4)数学建模．解题策略：运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法．考向互动探究探究一折叠剪拼操作探究型问题第40课时┃操作探究型问题考向互动探究例1[2013·北京]阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图40－1①所示，在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积．图40－1考向互动探究第40课时┃操作探究型问题小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图40－1②)．请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)，则这个新的正方形的边长为________；(2)求正方形MNPQ的面积；(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图40－2，在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若S△RPQ＝33，则AD的长为________．图40－2a考向互动探究第40课时┃操作探究型问题解(2)四个等腰直角三角形面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，∴S正方形MNPQ＝S△ARE＋S△DWH＋S△GCT＋S△SBF＝4S△ARE＝4×12×12＝2.(3)23.提示：模仿小明的操作，向正三角形外面补出三个“尖角三角形”，如图．这样，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积！考向互动探究第40课时┃操作探究型问题(1)△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形，拼成一个新的正方形怎么拼？边长多少？动手试试．(2)要求正方形MNPQ的面积，可以利用转化思想，外面的4个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积．(3)依图40－1②的作法补全图40－2，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积．例题分层分析此类问题按照要求把一个图形先分成若干块，然后拼接成一个符合条件的图形，常常利用平移、旋转、轴对称等变换进行作图．解题方法点析考向互动探究第40课时┃操作探究型问题探究二中心对称操作探究问题例2[2013·陕西]问题探究(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；(2)如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．图40－3考向互动探究第40课时┃操作探究型问题问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，点P是AD的中点，如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．解(1)如图所示．考向互动探究第40课时┃操作探究型问题(2)如图，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分．理由如下： 点O是正方形ABCD的对称中心，∴AP＝CQ，EB＝DF.在△AOP和△EOB中， ∠AOP＝90°－∠AOE，∠BOE＝90°－∠AOE，∴∠AOP＝∠BOE. OA＝OB，∠OAP＝∠EBO＝45°，∴△AOP≌△BOE.∴AP＝BE＝DF＝CQ，∴AE＝BQ＝CF＝PD.设点O到正方形ABCD一边的距离为d，则12(AP＋AE)d＝12(BE＋BQ)d＝12(CQ＋CF)d＝12(PD＋DF)d.∴S四边形APOE＝S四边形BEOQ＝S四边形CQOF＝S四边形FOPD.∴直线EF、OM将正方形ABCD的面积四等分．考向互动探究第40课时┃操作探究型问题(3)存在．当BQ＝CD＝b时，PQ将四边形ABCD的面积二等分．理由如下：如图，延长BA到点E，使AE＝b，延长CD到点F，使DF＝a，连接EF. BE綊CF，BE＝BC＝a＋b，∴四边形EBCF是菱形．连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF.∴AM＝DM，∴P、M两点重合．∴P点是菱形EBCF对角线的交点．在BC上截取BQ＝CD＝b，则CQ＝AB＝a.设点P到菱形EBCF一边的距离为d，则12(AB＋BQ)d＝...
