第一节平面向量的概念及其线性运算基础梳理1.向量的有关概念及表示法名称定义表示法向量既有又有的量;向量的大小叫做向量的(或)向量.模.零向量长度为的向量;其方向是任意的记作.单位向量长度等于个单位长度的向量常用表示大小方向长度模AB�AB�001e平行向量方向或的非零向量a与b共线可记为;0与任一向量.共线向量向量又叫做共线向量相同相反平行a∥b平行相等向量长度且方向的向量.相反向量长度且方向的向量(1)a的相反向量记作;①a+0=0+a=a②a+(-a)=(-a)+a=0(2)0的相反向量为.相等相同a=b相等相反-a02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律:a+b=;(2)结合律:(a+b)+c=.减法求两个向量差的运算法则a-b=.b+aa+(b+c).三角形平行四边三角形a+(-b)数乘实数λ与向量a相乘(1)|λa|=.(2)当λ>0时,λa与a的方向;当λ<0时,λa与a的方向;当a=0时，λa=0;当λ=0时,λa=.λ(μa)=;(λ+μ)a=;λ(a+b)=.3.向量共线定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使.b=λa(a≠0)相同相反0λa+μaλa+λb典例分析题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列五个命题①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若|a|=|b|,则a=b;③在□ABCD中,一定有;④若m=n,n=p,则m=p;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.其中正确的序号是______.ABDC�分析在正确理解有关概念的基础上,注意特殊的情况,是解决本题的关键.解两个向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,所以①不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故②不正确;零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故⑤不正确.③④正确.学后反思(1)着重理解向量以下几个方面:①向量的模;②向量的方向;③向量的几何表示;④向量的起点和终点.(2)判定两个向量的关系时,要特别注意以下两种特别的情况:①零向量与任何向量共线；②单位向量的长度为1，方向不固定.举一反三1.已知下列命题：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a,b中的一个方向相同；②在△ABC中，必有③若，则A,B,C为一个三角形的三个顶点；④若a与b均为非零向量，则一定相等。其中真命题的序号为。ABBC+0CA�ABBC+0CA�abab与解析：①错误，a+b=0时，就不满足结论。②正确，.③错误，A,B,C三点还可以共线。④错误，只有a与b同向时才相等。ABBC+0CAACAC�答案：②【例2】如图,D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.分析在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢,即用来分别表示待求的向量.AB,BC,AC�题型二平面向量的线性运算证明 AD=AC+CD,AD=AB+BD,∴2AD=AC+AB+CD+BD,即2AD=AC+AB.同理2BE=BA+BC,2CF=CA+CB.所以2(AD+BE+CF)=AC+AB+BA+BC+CA+CB=0.故AD+BE+CF=0.学后反思：平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意:(1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.(2)注意特殊点的应用.如线段AB的中点为P,则有(其中O为任一点).12OPOAOB�举一反三2.已知□ABCD，,若用a,表示23BPBC�,ABaBCb�PD�解析：如图13PDPCCDBCCD�11()33bABba�题型三向量的共线问题【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线.分析用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用共线向量定理,得到BD=λAB(或AD=λAB等),BD∥AB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线.证明 BC=2a+8b,∴CB=-2a-8b,∴BD=CD-CB=3a-3b+2a+8b=5(a+b),∴BD=5AB.由向量共线定理得BD∥AB,又直线AB和BD有公共点B,因此A、B、D三点共线.学后反思(1)向量共线的充要条件中要注意当两个向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决;但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.举一反三3.设两个非零向量e1,e2不共线,已知...
