2.1.2椭圆的简单几何性质(二)一、基础过关1.椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A.8,2B.5,4C.5,1D.9,12.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A.m>1B.m>1且m≠3C.m>3D.m>0且m≠33.AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为()A.b2B.abC.acD.bc4.经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点.设O为坐标原点，则OA·OB等于()A.－3B.－C.－或－3D.±5.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是()A.[4－2，4＋2]B.[4－，4＋]C.[4－2，4＋2]D.[4－，4＋]6.若倾斜角为的直线交椭圆＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________.7.人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p千米，远地点距地面q千米，若地球半径为r千米，则运行轨迹的短轴长为______________.二、能力提升8.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.9.若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________________.10.已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M、N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程.11.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程.12.在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程；(2)设直线y＝kx＋1与C交于A、B两点，k为何值时OA⊥OB？此时|AB|的值是多少？三、探究与拓展13.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点.若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程.答案1.D2.B3.D4.B5.A6.x＋4y＝07.28.C9.＋＝110.解(1)设点P(x，y)，则依题意有·＝－，整理得＋y2＝1.由于x≠±，所以求得的曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±).(2)由消去y得：(1＋2k2)x2＋4kx＝0.得x1＝0，x2＝(x1，x2分别为M，N的横坐标)，由|MN|＝|x1－x2|＝×＝，解得，k＝±1.所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.11.(1)解由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，解得a＝4.故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)解A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝.又由OB＝2OA，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.12.解(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆.它的短半轴长b＝＝1，故曲线C的方程为x2＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y，并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－.∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝.又x1x2＋y1y2＝0，∴k＝±.当k＝±时，x1＋x2＝∓，x1x2＝－.|AB|＝＝，而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝＋4×＝，∴|AB|＝＝.13.解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.整理得2()2＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c).A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c.得方程组的解不妨设A(c，c)，B(0，－c)，所以|AB|＝＝c.于是|MN|＝|AB|＝2c.圆心(－1，)到直线PF2的距离d＝＝.因为d2＋()2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为＋＝1.
