2.1.2平面直角坐标系中的基本公式一、基础过关1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于()A．0或8B．0或－8C．0或6D．0或－62．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于()A．5B．－1C．1D．－53．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于()A．5B．4C．2D．25．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是_______．6．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．7．已知A(6,1)、B(0，－7)、C(－2，－3)．(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)求△ABC的外心的坐标．8．△ABC中，AO是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．二、能力提升9．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是()A．4x＋2y＝5B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5D．x－2y＝510．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是()A．(－1,0)B．(1,0)C.D.11．等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．12．求函数y＝＋的最小值．三、探究与拓展13．在△ABC所在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最小值.答案1．A2.D3.B4.C5.6．(2,10)或(－10,10)7．(1)证明|AB|2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，|BC|2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，|AC|2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，因为|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，所以△ABC为直角三角形，∠C＝90°.(2)解因为△ABC为直角三角形，所以其外心是斜边AB的中点，所以外心坐标为(，)，即(3，－3)．8．证明以BC边所在直线为x轴，边BC的中点为原点建立直角坐标系，如图，设B(－a,0)，O(0,0)，C(a,0)，其中a>0，A(m，n)，则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)，|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．9．B10．B11．212．解原式可化为y＝＋.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为A′B的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝＝5，所以函数y＝＋的最小值为5.13．解设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x－x1)2＋(y－y1)2＋(x－x2)2＋(y－y2)2＋(x－x3)2＋(y－y3)2＝[3x2－2(x1＋x2＋x3)x＋x21＋x22＋x23]＋[3y2－2(y1＋y2＋y3)y＋y21＋y22＋y23]．由二次函数的性质，知即P为△ABC的重心时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最小值．
