高三复习专题六——函数的最值VIP免费

总复习专题六——函数的最值广西大学附属中学2014年4月16日刘继益制作函数的最大值、最小值统称函数的最值，它是中学数学中的一类重要问题，它涉及函数、不等式、数列、导数、三角函数、立体几何、解析几何等多方面的知识，以及许多重要的数学方法；它的综合性强，能够考查出学生的各项知识和方法的掌握情况，倍受命题人的青睐。关于函数的最值我们从以下几个方面进行探讨：一、回顾：我们学过哪些求函数最值的方法？1、配方法；3、判别式法；2、换元法；7、利用函数的性质；6、均值不等式；4、反函数法；5、导数法；8、利用数形结合或图象法；9、其它方法（如转化为平方、变量的几何意义、复合函数等）；二、举例例1、函数的值域；1yxx分析：1、换元法;2、导数法；3、单调性法；例1、函数1yxx的值域；解法一：（换元法）1,tx令则0,t从而有2()1fttt215(),24t所以当0t时，()ft取得最大值为1，因此函数的值域为(,1].解法二提示:（导数法）1110,21yx函数在定义域{1}xx内单调递增。例1、函数1yxx的值域；例1、函数1yxx的值域；解法三提示：（单调性法）由题意知函数的定义域为{1},xx并且函数在该定义域内所以当1x时，取得最大值为1，因此函数的值域为(,1].单调递增，例2、函数()31fxxx的最小值为；分析1：243()213421xxfxxxx画出的图象即可；()fx分析2：等号右边的几何意义入手；分析3：由abab入手求解；例2、函数()31fxxx的最小值为；解法一：（去掉绝对值）由题意得243()213421xxfxxxx()fx的图形如图1所示，xyo1321图根据图形可知()fx的最小值为2.解法二提示：（几何法）例2、函数()31fxxx的最小值为；13xxx2图考虑一个动点到两个定点的距离之和最小；例2、函数()31fxxx的最小值为；解法三提示：（不等式法）,abab当0ab时，“=”成立。例3、已知且求的最大值与最小值.,,xyR22410,xyx22xy分析1：约束条件是22410,xyx目标函数是22uxy41;x分析2：三角换元；cossinxarybr分析3：22(0)(0),dxyu2223xy222xyr相切。分析4：与例3、已知且求的最大值与最小值.,,xyR22410,xyx22xy解法一：（消元法）2241,yxx又20,y2323x所以，从而，2241uxyx743,743.maxuminu例3、已知且求的最大值与最小值.,,xyR22410,xyx22xy解法二提示：（三角换元法）xy转化为圆2223xy令,则有22743cosxy23cos3sin,[0,]例3、已知且求的最大值与最小值.,,xyR22410,xyx22xy解法三提示：（两点间距离）22(0)(0)dxyu2.ud则有0xy2例3、已知且求的最大值与最小值.,,xyR22410,xyx22xy解法四提示：（数形结合法图3）2223xy设222,xyr最小值和最大值问题。变为两0xy图32约束条件化为：圆在外切和内切时取得变式一：求yx的最大值.例3、已知且求的最大值与最小值.,,xyR22410,xyx22xy解：令0,0ykx转化为直线ykx与圆2223xy相切第一象限时，斜率最大为3;或者把ykx代入2223xy消去,y得22(1)410,kxx因为有解，所以2164(1)033,kkmax3.k例4、设()0,0,bfxaxabx求1、均值不等式；()fx在0,上的最小值。分析：4、导数法；3、判别式法；2、配方法；例4、设()0,0,bfxaxabx求()fx在0,上的最小值。解法一：（均值不等式）2,baxabx当且仅当时,bxa0,0,0,xab“=”成立。例4、设()0,0,bfxaxabx求()fx在0,上的最小值。解法二：（配方法）2()22bbaxaxababxx当baxx时，“=”成立。例4、设()0,0,bfxaxabx求()fx在0,上的最小值。解法三：（判别式法）0,0,0,xab令(0)byaxyx20axyxb有解，则有，2()402.yabya...