探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。一、定值问题--解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。例1.A、B是抛物线（p＞0）上的两点，且OA⊥OB，求证：（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；（2）直线AB经过一个定点。证明：（1）设A（）、B（），则，。∵=，∴为定值，也为定值。（2）∵，∵，∴∴直线AB的方程为：，∴直线AB过定点（2p，0）。例2已知抛物线方程为，点A、B及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。（1）试证明直线AB的斜率为定值；（2）当直线AB的纵截距为m（m＞0）时，求△PAB的面积的最大值。分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。解析：（1）证明：把P(2，4)代入，得h=6。所以抛物线方程为：y－4=k(x－2)，由，消去y，得。所以，因为PA和PB的倾角互补，所以，用－k代k，得，所以=。（2）设AB的方程为y=2x+m(m＞0)，由，消去y得：，令△=16－4(2m－12)＞0，解得0＜m＜8，，点P到AB的距离d=，所以，=，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故△PAB面积最大值为。二、最值问题--解决最值的方法：一是代数法，建立目标函数，转化为函数的最值问题，注意到自变量的范围；二是几何法，考虑某些量的几何特征及意义，利用图形性质求解。例3求椭圆上的点P到直线L：x－2y－12=0的最大距离和最小距离。方法1：（求切点）设与L平行的直线与椭圆相切于点P(x，y)，由椭圆方程得此切线方程，∵，∴，即（1），又（2），解(1)(2)得切点的坐标为P（－2，3）P（2，－3）。设点P到直线L的距离为d，由点到直线的距离公式，得，。方法2：（判别式法）设与L平行的椭圆的切线方程为x－2y+m=0，代入椭圆方程，消去x得，由△=得，。当m=8时，切线方程x－2y+8=0，此时，切点为P（－2，3）；当m=－8时，切线方程x－2y－8=0，此时，切点为P（2，－3）设点P到直线L的距离为d，由点到直线的距离公式，得，。方法3：（参数法）设椭圆上任意一点P(4cosθ，sinθ)，它到直线L的距离为，∴当时，；当时，。例4已知定点A(0，3)点B、C分别在椭圆的准线上运动，当∠BAC=90°时，求△ABC面积的最大值。解：椭圆的两条准线方程分别为：y=1或y=－1。点B在直线y=1上且设B（a，1），点C在直线y=－1上且设C（b，－1），由于∠BAC=90°，A(0，3)，所以，，·=，ab=－8。==，当且仅当，即，时△ABC面积的值最大为8。三、定点问题:处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；二是直接推理算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。例5、设抛物线（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点。方法1：设直线方程为，A，B，C，∴，，∴，，CxyOFBA图2，又∵，∴，即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O。当k不存在时，AB⊥x轴，同理可证。方法2：如图2过A作AD⊥l，D为垂足，则：AD∥EF∥BC连结AC与EF相交于点N，则，，由抛物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，∴.xyFBACDO图3NE
