2025年1月20日2025年1月20日二次函数是初中函数的主要内容.也是高中学习的重要基础.在初中,大家已经知道二次函数在自变量取任意实数时的最值情况.本讲我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时,函数的最值问题.2(0)yaxbxcax2025年1月20日一、二次函数的图像和性质2(0)yaxbxca(1)当0a时,函数2yaxbxc图象开口向上,顶点坐标为24(,)24bacbaa,对称轴为直线2bxa.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大;当2bxa时,函数取最小值244acbya.今后解决二次函数问题时,要善于借助函数图像,利用数形结合的思想方法解决问题.(2)当0a时,函数2yaxbxc图象开口向下,顶点坐标为2424(,)bacbaa,对称轴为直线2bxa.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小;当2bxa时,函数取最大值244acbya.2025年1月20日一、二次函数的图像和性质2(0)yaxbxca【例1】请您求出二次函数2361yxx的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x取何值时,y随x的增大而增大(或减小),并画出该函数的图象.解:∵22361314()yxxx.∴函数图象的开口向下,对称轴方程1x,顶点坐标为(-1,4),当1x时,4maxy.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小(如图).2025年1月20日1.一般式:2(0)yaxbxca.2.顶点式:)0()(2akhxay,顶点坐标是),(kh.3.交点式:12()()(0)yaxxxxa,其中1x,2x是二次函数图象与x轴交点的横坐标.【例2】已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.【例3】已知二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线1yx上,并且图象经过点(3,-1),求此二次函数的解析式.解:设该二次函数为2(0)yaxbxca.由条件得2228124288abcacbabcc.所求的二次函数为22128yxx.解:由条件易知顶点坐标是(1,2),设该二次函数的解析式为2(2)1(0)yaxa,∵图像经过点(3,-1),∴21(32)12aa.∴二次函数的解析式为22(2)1yx,即2287yxx.二、二次函数的三种表示方式2025年1月20日二、二次函数的三种表示方式【例4】已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.解:法一∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴可设二次函数为(3)(1)(0)yaxxa,即223yaxaxa.顶点的纵坐标为2212444aaaa,∵二次函数图象的顶点到x轴的距离为2,∴1|4|22aa.∴二次函数的表达式为21322yxx或21322yxx.解:法二∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线1x.又顶点到x轴的距离为2,∴顶点的纵坐标为2或-2.∴可设二次函数为2(1)2yax或2(1)2yax.∵函数图象过点(1,0),∴12a.∴二次函数的表达式为21322yxx或21322yxx.说明:在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题.通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式?2025年1月20日三、二次函数的最值问题【例5】当22x时,求函数223yxx的最大值和最小值.解:作出函数的图象.当1x时,min4y,当2x时,max5y.【例6】当12x时,求函数21yxx的最大值和最小值.解:作出函数的图象.当1x时,max1y,当2x时,min5y.2025年1月20日三、二次函数的最值问题由上述两例可以看到,二次函数在自变量x的给定范围内,对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量x的范围的图象形状各异.下面给出一些常见情况: