全国高中数学联赛试题及解析 苏教版4VIP免费

1984年全国高中数学联赛试题第一试1．选择题(本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分)⑴集合S={\s\up6(－2)|argZ=α，α为常数}在复平面上的图形是()A．射线argZ=2αB．射线argZ=－2αC．射线argZ=αD．上述答案都不对⑵下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式logx(logxy2)>0的是()⑶对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程ρ=表示的不同双曲线条数是()A．15B．10C．7D．6⑷方程sinx=lgx的实根个数是()A．1B．2C．3D．大于3⑸若a>0，a≠1，F(x)是一个奇函数，则G(x)=F(x)∙(+)是A．奇函数B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数D．奇偶性与a的具体数值有关⑹若F()=x，则下列等式中正确的是()A．F(－2－x)=－2－F(x)B．F(－x)=F()C．F(x－1)=F(x)D．F(F(x))=－x⑺若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动⑻若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是F(x)，则函数F(x)在其定义域上A．是增函数但无最大值B．是增函数且有最大值C．不是增函数但无最大值D．不是增函数但有最大值2．填充题(本题满分10分，每小题5分)⑴如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，作DC⊥AB，交圆周于C，若点D的坐标为D(x，0)，则当x∈时，线段AD、BD、CD可以构成锐角三角形．⑵方程cos=cosx的通解是，在(0，24π)内不相同的解有个．第二试1．(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明．否则给出反例．⑴若P、Q是直线l同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过P、Q且与直线l相切；⑵若a>0，b>0，且a≠1，b≠1，则logab+logba≥2．⑶设A、B是坐标平面上的两个点集，Cr={(x，y)|x2+y2≤r2}，若对任何r≥0，都有Cr∪ACr∪B，则必有AB．2．(本题满分10分)已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线AA的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设AE=m，AF=n，求EF(A在直线a上，A在直线b上)．3．(本题满分15分)如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，证明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个不小于(SXY…Z表示多边形XY…Z的面积)．4．(本题满分15分)设an是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3…，试证：0.a1a2…an…是有理数．5．(本题满分15分)设x1，x2，…，xn都是正数，求证：++…++≥x1+x2+…+xn．1984年全国高中数学联赛试题解答第一试1．选择题(本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分)⑴集合S={\s\up6(－2)|argZ=α，α为常数}在复平面上的图形是()A．射线argZ=2αB．射线argZ=－2αC．射线argZ=αD．上述答案都不对解：由于argZ∈[0.2π)，故不存在答案B．arg\s\up5(－)=2π－α，故选D．⑵下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式logx(logxy2)>0的是()解：当0y2>x>0；当x>1时，得y2>x>1．选D．⑶对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程ρ=表示的不同双曲线条数是()A．15B．10C．7D．6解：由e=C，若表示双曲线，则e>1，由C>1，可得m、n的不同取值为C=5，C=10，C=4，C=6，C=3，C=2，共有6个不同的值，故选D．⑷方程sinx=lgx的实根个数是()A．1B．2C．3D．大于3解：作y=sinx及y=lgx的图象，当x>10时，lgx>1．故二者只在(0，10)内可能有交点．经作图可知，二者在(0，π)内有一交点，在(2π，3π)内有一交点．选C．⑸若a>0，a≠1，F(x)是一个奇函数，则G(x)=F(x)∙(+)是A．奇函数B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数D．奇偶性与a的具体数值有关解：G(x)=F(x)∙，故G(－x)=G(x)，且G(x)的定义域是F(x)的定义域与{x|x≠0，x∈R}的交集，为以原点为对称的区域，故选B．⑹若F()=x，则下列等式中正确的是()A．F(－2－x)=－2－F(x)B．F(－x)=F()C．F(x－1)=F(x)D．F(F(x))=－x解：令t=，得x=，即F(t)=，经一一验证，知F(－2－x)=－2－F(x)，选A．⑺若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．...