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全国高中数学联赛试题及解析 苏教版32VIP免费

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2004年全国高中数学联赛试卷第一试一.选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cos=0有重根,则的弧度数为()A.B.或C.或D.2.已知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的m∈R,均有M∩N,则b的取值范围是()A.[-,]B.(-,)C.(-,]D.[-,]3.不等式+logx3+2>0的解集为A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.(2,4]4.设点O在ABC的内部,且有Combin+2Combin+3Combin=Combin,则ABC的面积与AOC的面积的比为()A.2B.C.3D.5.设三位数n=\s\up2(¯¯¯),若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有()A.45个B.81个C.165个D.216个6.顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长为()A.B.C.D.二.填空题(本题满分54分,每小题9分)7.在平面直角坐标系xOy中,函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是;8.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(x)=;9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1—A1的度数是;10.设p是给定的奇质数,正整数k使得也是一个正整数,则k=;11.已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且a0=3,则的值是;12.在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为;三.解答题(本题满分60分,每小题20分)13.一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n,则算过关.问:⑴某人在这项游戏中最多能过几关?⑵他连过前三关的概率是多少?14.在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,),B(-1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项.⑴求点P的轨迹方程;⑵若直线L经过ABC的内心(设为D),且与P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围.15.已知,是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f(x)=的定义域为[,].⑴求g(t)=maxf(x)-minf(x);⑵证明:对于ui∈(0,)(i=1,2,3),若sinu1+sinu2+sinu3=1,则++<.二试题一.(本题满分50分)在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.二.(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中,y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=,直线AnBn在x轴上的截距为an,点Bn的横坐标为bn,n∈N*.⑴证明an>an+1>4,n∈N*;⑵证明有n0∈N*,使得对∀n>n0,都有++…++0的解集为A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.(2,4]解:令log2x=t≥1时,>t-2.t∈[1,2),x∈[2,4),选C.4.设点O在ABC的内部,且有Combin+2Combin+3Combin=Combin,则ABC的面积与AOC的面积的比为()A.2B.C.3D.解:如图,设AOC=S,则OC1D=3S,OB1D=OB1C1=3S,AOB=OBD=S.OBC=S,ABC=3S.选C.5.设三位数n=\s\up2(¯¯¯),若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有()A.45个B.81个C.165个D...

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