线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1（如图1）四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。解:（1） SC⊥SB,SC⊥SA,BMHSCA图1∴SC⊥平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,又 SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,∴面ABC⊥面SCM过S作SH⊥CM于H,则SH⊥平面ABC∴CH即为SC在面ABC内的射影。∠SCH为SC与平面ABC所成的角。sin∠SCH=SH／SC∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2.利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2（如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4，求AB与面AB1C1D所成的角的正弦值。A1C1D1H4CB123BAD解：设点B到AB1C1D的距离为h, VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，易得h=12／5设AB与面AB1C1D所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5图23.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，如图，是平面的斜线，是斜足，垂直于平面，为垂足，则直线是斜线在平面内的射影。设是平面内的任意一条直线，且，垂足为，又设与所成角为，与所成角为，与所成角为，则易知：，又 ，可以得到：，注意：易得：又即可得：．则可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（最小角定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC两两所成的角为60°,，求直线OA与面OBC所成的角的余弦值。解： ∠AOB=∠AOC∴OA在面OBC内的射影在∠BOC的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC∴cos60°=cos∠AOD·cos30°∴cos∠AOD=√3／3∴OA与面OBC所成的角的余弦值为√3／3。21OCBAO¦ÁDACB图4练习．如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角。〖解〗（法一）连结与交于，连结， ，，∴平面，∴是与对角面所成的角，在中，，∴．（法二）由法一得是与对角面所成的角，又 ，，∴，∴．【基础知识精讲】1.直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：(1)直线在平面内——直线上的所有点在平面内，根据公理1，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.直线a在平面α内，记作aα.(2)直线和平面相交——直线和平面有且只有一个公共点.1B1A1CABC1DDO记作a∩α＝A(3)直线和平面平行——如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.记作a∥α.直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外，记作aα.2.直线和平面平行的判定判定如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(简记“线线平行，则线面平行”)即a∥b,aα，bαa∥α证明直线和平面平行的方法有：①依定义采用反证法②利用线面平行的判定定理③面面平行的性质定理也可证明3.直线和平面平行的性质定理性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行，线线平行”).即a∥α,aβ，α∩β＝ba∥b.这为证线线平行积累了方法：①排除异面与相交②公理4③线面平行的性质定理【重点难点解析】本节重点是直线与平面的三种位置关系，直线和平面平行的判定和性质，难点是直线和平面平行的性质的应用.例1如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AM∶FN＝AC∶BF，求证：MN∥平面CBE.分析：欲证MN∥平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平...
