二次函数（2012寒假）一．（海淀）25.如图,已知抛物线经过坐标原点O及，其顶点为B(m,3),C是AB中点，点E是直线OC上的一个动点(点E与点O不重合)，点D在y轴上,且EO=ED.（1）求此抛物线及直线OC的解析式；（2）当点E运动到抛物线上时,求BD的长；（3）连接AD,当点E运动到何处时，△AED的面积为，请直接写出此时E点的坐标.解:25.解：（1） 抛物线过原点和A()，∴抛物线对称轴为.∴B().设抛物线的解析式为. 抛物线经过(0,0),∴0=3a+3.∴a=-1.CBAyxO∴……………………………………………1分= C为AB的中点,A()、B()，可得C().可得直线OC的解析式为.……………………………………………2分（2）连结OB.依题意点E为抛物线与直线的交点（点E与点O不重合）.由解得或（不合题意，舍）.∴E（）…………………………3分过E作EF⊥y轴于F,可得OF=， OE=DE，EF⊥y轴，∴OF=DF.∴DO=2OF=.∴D(0,.………………………………………………………………………4分∴BD=.……………………………………………5分（3）E点的坐标为()或().……………………………………………8分FCDEBAyxO说明：此问少一种结果扣1分.二（丰台）25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：（1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式．（2）如果x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．解：(1) ，------1分∴抛物线C1的顶点坐标是（1,1），∴平移后的抛物线C2顶点P（3，2）．------2分∴．（或者）------3分(2)存在点N（x,y）满足条件．------4分 以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴，∴．当点N在C1上时，，即，解得；∴N1（）,N2（）;当点N在C2上时，，即，解得；∴N3（）,N4（）．∴满足条件的点N有4个，分别是N1（）、N2（）、N3（）、N4（）．yx12345678–1–2123–1–2–3–4–5O------8分(说明:每求出一个点N的坐标得1分)三．（石景山）25．如图，矩形是矩形绕点B顺时针旋转得到的．其中点在轴负半轴上，线段在轴正半轴上，点的坐标为．（1）如果二次函数的图象经过两点且图象顶点的纵坐标为．求这个二次函数的解析式；（2）求边所在直线的解析式；（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．25．解：（1）联结、,由旋转知……………………………………1分∴ ∴∴∴∴这个二次函数的解析式为：……………………………………2分（2）设显然在中，解得………………………………………………3分∴∴可求边O’A’所在直线的解析式为：………………………………4分（3）由，易求若存在点,使得，则有…………………………………………………………5分方法一（代数法）：由,可得设过作直线轴，交直线于，则，即：，解得∴，．…………………7分方法二（几何法）： ∴在中，可求设的边上的高为则,求得过点作的垂线交轴于点，则且在中，，∴,过点作的平行线交抛物线于两点则直线的解析式为(第25题)解方程组得或∴二次函数图象上存在点P，使得,且点，…………………………7分四，（怀柔）25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.解：25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；(第25题)(第25题)（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么...
