初三数学分类讨论思想在解题中的应用一.本周教学内容：分类讨论思想在解题中的应用1.在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。2.正确的分类应当符合两条原则：（1）分类应按同一标准进行；（2）分类应当不重复，不遗漏。例如，把三角形分为斜三角形和等边三角形两大类，既有重复（等边三角形是斜三角形），又有遗漏（不包括直角三角形），其分类标准不统一，故分类错误。分类后，对各个情况分别进行研究，得出不同情况下的结论，这就是讨论。3.分类讨论思想是中考的热点考查内容。二.重点、难点：分类讨论思想的应用和分类的标准既是重点又是难点。一、与数学概念、定义有关的分类讨论。例1.分析：对值符号，这就要根据绝对值的概念进行分类讨论研究。解法一：解法二：故应填8或2。例2.已知相切两圆的圆心距为5，一个圆的半径为2，则另一个圆的半径为__________。分析：相切两圆分为内切、外切两种情况。解：设另一个圆心的半径为r，则r＋2＝5或r－2＝5。∴r＝3或7。二、涉及数学运算法则或定理、公式的适用范围的分类讨论。例3.A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、二、三象限分析：分两种情况讨论。解法一：分两种情况讨论：（1）当a＋b＋c≠0时，由等比性质，得（2）当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，综合（1）（2），直线y＝kx＋k一定经过第二、三象限，故选B。解法二：例4.误解：分析：误解的结果是正确的，但解法是欠妥的，造成误解的原因是习惯性地把未知量x，y看作不相等，即忽视了x＝y的情况，这种错误易出现，但又难发现，因此必须高度重视。正确的解法是分类讨论：说明：本例也可以应用因式分解法避免讨论：解法二：三、涉及问题中待定参数的变化的分类讨论。例5.根？分析：方程有实数根，即方程有两个或一个实数根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次项的系数要分类讨论。解：说明：方程中最高次项的系数是含字母的不确定代数式，决定了它的取值的多种可能性，不能看到x2项就简单地认为是一元二次方程。例6.（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？（2）设（1）中的两个交点为A，B，试比较∠AOB与90°角的大小。分析：置，所以要注意分类讨论。解：（2）y＝－x＋8的图象经过第一、二、四象限，由于k的不同取值导致A、B的位置不同，因此应分类讨论：①当0＜k＜16时，双曲线的两支分布在第一、三象限，则这两个函数图象的交点A和B都在第一象限，∴∠AOB＜∠xOy，即∠AOB＜90°，如图所示；②当k＜0时，双曲线的两支分布在第二、四象限，则这两个函数图象的两个交点A和B分别在第二、四象限，∴∠AOB＞∠xOy，即∠AOB＞90°。例7.分析：本题在审题时要读懂题意，题设中未指明是涉及②中的哪个整数根，故要分类讨论。解：，根据题设，对x1，x2进行分类讨论：四、涉及几何元素位置变化的分类讨论。1.与几何基本概念有关的分类讨论。例8.C到直线l的距离是_________________。分析：点A，点B与直线l的位置关系有两种情况：A、B两点在直线l的同侧或异侧。解：（1）如图所示，当A、B两点在直线l的同侧时，设AM⊥l于M，BN⊥l于N，CP⊥l于P，且 C是AB中点，AM∥CP∥BN，∴CP是梯形AMNB的中位线，（2）如图所示，当A、B两点在直线l的异侧时，过B作BR⊥AM的延长线于R，延长PC交BR于Q，则AM∥CQ∥BN， AC＝BC，∴RQ＝QB，∴CQ是△ABR的中位线，2.与三角形有关的分类讨论：例9.已知平面直角坐标系内两点A（－2，0），B（4，0），点P在直线（1）点P的坐标，并标出点P的位置；（2）经P、A、B三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在？若存在，求出抛物线的解析式。解：（1）如图所示，分三种情况讨论：③设∠P为直角，点P（x，y），过P作PQ⊥x轴于Q，则Q（x，0），而过A、B、P1或A、B、P2对称轴平行于y轴的抛物线不存在。例10.点，AD＝6，点E是过点D的直线与△ABC的另一边的交点，过点D能否作一条直线截原三角形所得的小三角形与原三角形相似？若能，求出DE的长，若不能，请说明理由。解：∴AC＝6，BC＝8， AD...
