九年级数学上证明二三部分训练题1.如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.求证：（1）△AEF≌△BCD；(2)EF∥CD.【证明】（1）因为AE∥BC,所以∠A=∠B.又因AD=BF,所以AF=AD+DF=BF+FD=BD又因AE=BC,所以△AEF≌△BCD.(2)因为△AEF≌△BCD,所以∠EFA=∠CDB.所以EF∥CD.2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求证：DC=BC;(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.【证明】（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.(2)等腰三角形.证明：因为.所以，△DEC≌△BFC所以，.所以，即△ECF是等腰直角三角形.（3）设,则，所以.因为，又，所以.所以∴sin∠BFE=。3.已知：如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．BCFDAEEBFCDA（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD．∴AE＝CF．∴△ADE≌△CBF．（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB＝90°．∴四边形AGBD是矩形．4.如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（1）证：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°∴∠ADE=∠CBF=60°∵AE=AD，CF=CB∴△AED，△CFB是正三角形在ABCD中，AD=BC，DC∥AB，DC=AB∴ED=BF∴ED+DC=BF+AB即EC=AF又∵DC∥AB即EC∥AF∴四边形AFCE是平行四边形（2）上述结论还成立证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC∥=AB∴∠ADE=∠CBF∵AE=AD，CF=CB∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF∴∠AED=∠CFB又∵AD=BC∴△ADE≌△CBF∴ED=FB∵DC=AB∴ED+DC=FB+AB即EC=FA∵DC∥AB∴四边形EAFC是平行四边形………………9分5.两个全等的含300,600角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．解：△EMC是等腰直角三角形．证明：由题意，得DE=AC，∠DAE＋∠BAC900.∠DAB=900.连接AM．∵DM=MB∴MA=DB=DM,∠MDA=∠MAB=450.∴∠MDE=∠MAC=1050∴△EDM≌△CAM∴EM=MC,∠DME=∠AMC又∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=900∴CM⊥EM所以△EMC是等腰直角三角形6.已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DC，连接AE、BD.（1）求证：△AGE≌△DAB（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数.解：（1）∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴△AGD是等边三角形AG＝GD＝AD，∠AGD＝60°∵DE＝DC，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DC＝AC＝AB∵∠AGD＝∠BAD，AG＝AD，∴△AGE≌△DAB（2）由（1）知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG-----（6分）∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形∴EF＝BD，∴EF＝AE．∵∠DBC＝∠DEF，∴∠ABD＋∠DBC＝∠AEG＋∠DEF,即∠AEF＝∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∠AFE＝60°DABCGEF
