初中数学 聚焦等腰三角形中的探索型问题 专题辅导 试题VIP专享VIP免费

初中数学聚焦等腰三角形中的探索型问题近几年的中考数学试题中，与等腰三角形有关的探索型问题已成为热点之一。现举例予以说明。一、条件补充型例1（济南）如图1，△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是。简析：从确定△ADE是等腰三角形着眼，应添加∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE等条件。二、结论判断题例2（南通）如图2所示，△ABC中，∠ACB=90°，△ACE、△CBD都是等边三角形。试判断EC与BD的位置关系，并证明你的结论。简析：因△ACE、△CBD都是等边三角形，故∠ECA=∠DCB=60°。又因为∠ACB=90°，所以∠ECB=∠ECD=150°。连接EB、ED，如图3。又EC=EC，CB=CD，则△ECB≌△ECD，所以EB=ED，∠DEC=∠BEC。由等腰三角形三线合一的性质知EC⊥BD。三、辨别改错型例3（江西）如图4，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点。EB=EC，∠1=∠2。求证：AD⊥BC。请你先阅读下面的证明过程。证明：在△AEB和△AEC中，∴△AEB≌△AEC。（第一步）∴AB=AC，∠BAE=∠CAE。（第二步）∴AD⊥BC。（等腰三角形的“三线合一”）上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。简析：第一步错误。在△AEB和△AEC中，有两边和其中一边的对角对应相等，并不能判定它们全等。证明思路如下：由EB=EC，得∠EBC=∠ECB。再由∠1=∠2，可得∠ABC=∠ACB，故AB=AC。下同上面证法。四、条件组合型例4（扬州）如图5，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O。给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD。（1）上述三个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？用序号写出所有情形。（2）请选择（1）题中的某一种情形，证明△ABC是等腰三角形。简析：（1）有两种情形：①、③、②、③。（2）以①、③为例。 ∠EOB=∠DOC，∠EBO=∠DCO，BE=CD，∴△EBO≌△DCO（AAS）。∴BO=CO。∠OBC=∠OCB。由条件∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB。△ABC为等腰三角形。五、实验操作型例5（天门）在平面内，分别用3根、5根、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表表示如下。请阅读下表后再回答问题。表1火柴数356示意图形状等边三角形等腰三角形等边三角形问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请在下表中画出它们的示意图。表2火柴数812示意图形状简析：（1）因为4根火柴只能搭成长为1，1，2的三条线段，而长为1，1，2的三条线段不能构成三角形（因1+1=2），所以4根火柴不能搭成三角形．（2）在搭的同时要注意三条线段长必须满足三角形三边关系定理．8根火柴可以搭成一个三边长分别为3，3，2的等腰三角形；12根火柴可以搭成一个三边长分别为5，5，2的等腰三角形，也可以搭成一个三边长分别为4，4，4的等边三角形，还可以搭成一个三边长分别为3，4，5的直角三角形。示意图略．说明：这类搭三角形的题可运用列举法解。先画三个方框，在最左边的第一个方框中依次填上l，2，3，…，在第二个方框中再填入不小于第一个方框的数，然后在第三个方框中填入不小于第二个方框的数．这三个数如果满足前两个之和大于第三个，且这三个数之和为（火柴）总数，那么就可以搭成三角形，否则不能．六、图形分割型例6（无锡）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°．试画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．请你选用下面给出的备用图（图6），把不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数。简析：如图7，有2种不同的分割方法。说明：此题的解决也提示我们：遇到与等腰三角形有关的问题时，一定要避免多解、漏解．七、猜想探究型例7（南充）如图8，已知△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN．直线BN与AM相交于Q点．（1）请问：∠BQM等于多少度？（2）如果M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其他条件不变，如图9所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明：如果不成立，请说明理由．简析：随着几何学习的深入，会出现不少规律探究题．这些题目要求同学...