初中数学一题多解、归纳证“垂直”的方法通过对北师大版九年级数学（上）习题3.4第2题（命题）的多种证法，可以归纳总结出证“垂直”的多种方法，提高学生的论证能力，形成多方面探索思考的良好习惯。证明如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．已知：如图1，在△ABC中，AD=BD=CD．求证：△ABC是直角三角形．证法1如图1，利用两锐角互余．∵AD=CD，CD=BD，∴∠1=∠A，∠2=∠B。在△ABC中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°，∴2（∠A+∠B）=180°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。证法2如图2，利用等腰三角形的三线合一．延长AC到E使CE=AC，连接BE．∵AD=BD，∴CD是△ABE的中位线．∴。∵，∴AB=BE．∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．证法3如图3，利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）．过点D作DE⊥BC交BC于点E．∴CD=BD，∴，∴，∵∠B是公共角，∴△BDE∽△BAC。∴∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC是直角三角形。证法4如图4，利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条．取BC中点E，连接DE．∵AD=BD，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥AC．∵CD=BD，CE=BE，∴DE⊥BC．∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．证法5如图5，构造四边形，并证其为矩形．延长CD到E使DE=CD，连接AE、BE．∵AD=BD=CD．∴AD=BD=CD=DE,且AB=CE．∴四边形ABCD是矩形．∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．证法6如图6，利用勾股定理的逆定理．设AC=b，BC=a，AB=c，取BC中点E，连接DE．∴DE是△ABC的中位线．∴。∵CD=BD，∴DE⊥BC。在Rt△DEB中，∵，∴。∴，∴△ABC是直角三角形。证法7如图7，利用两直线平行，再证同旁内角相等。延长CD到E使DE=CD，连接BE。∵AD=BD，∠1=∠2，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴∠ACD=∠E，AC=BE，∴AC∥BE，∴∠ACB+∠EBC=180°。又∵AD=CD，∴AB=CE。∵BC是公共边，∴△ACB≌△EBC（SSS）。∴∠ACB=∠EBC。∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。证法8如图8，利用直径所对的圆周角是直角。以D为圆心，DA长为半径作圆。∵AD=BD=CD，∴点C、B在圆上，AB是直径。∴∠ACB=90°。∴△ABC是直角三角形。另外，原命题本身就蕴含着一种证明垂直的方法，至此，可得出九种证“垂直”的方法。
