北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知、、均为实数，，为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：、、、、、、、、）1．设命题为：“”，表述命题：__________．abDABCB1C1D1A1【答案】【解析】 的否这是：，∴若为：，则．2．设命题为：“”，用字母与符号表述命题“、均为非零实数”：__________．A1D1C1B1CBAD【答案】【解析】“、均为非零实数”，即“，”，又命题“”，命题为：“”，故用字母符号表述命题：“、均为非零实数”为：．3．已知增函数，命题“，”，是：__________．【答案】，【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题“，”，则是：，．4．某学生三好学生的评定标准为：（）各学科成绩等级均不低于等级，且达及以上等级学科比例不低于；（）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%；（）体育学科综合成绩不低于分．设学生达及以上等级学科比例为，学生的品德被投票评定为优秀比例为，学生的体育学科综合成绩为．用表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于，且无违反学校规定行为．则：（）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①②③④（）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（）②④（）【解析】（）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是，低于，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由，，，得，故是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意．综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（）由（）可知，是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分）已知单位正方形，点为中点．1．设，，以为基底．表示：（）__________；（）__________．【答案】（）．（）．【解析】（）在，，，为中点，∴．（）．2．以为原点，分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系，则：（）点坐标为__________．（）若点满足：在直线上，且面，则点坐标为__________．【答案】（）．（）．【解析】（） 是单位正方体，∴棱长为，∴，，∴由中点坐标公式得．（）易知当为中点时，，从而平面，∴．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）3．求直线与所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线与平面所成的角为， ，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，∴，∴，即直线与平面所成的角为．4．求二面角的大小．【答案】见解析．【解析】解：设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，∴由知平面的法向量，∴，故二面角的大小为．5．过点与直线所成角为，且与平面所成角为的直线条数为__________．【答案】【解析】过点与直线所成角为，且与平面所成角为的直线条数与过与直线所成角为，且与平面所在的角为的直线条数相同，过与直线所成角为的直线为以为项点，以为轴线的圆锥的母线，过且与平面所成角为的直线是以为顶点，以为轴线，顶角为的圆锥的母线，由于，所以，故这两个圆锥曲面的相交，有条交线，从而过点与直线所成角为，且与平面所成角为的直线条数为．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点的平面组为：面、面、面．正方体内（含表面）有一动点，到共点于的三个面的距离依次为、、．（）写出一个满足的点坐标__________．（按题建系）（）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于，则该点轨迹图形的体积为：__________．d1d3d2PDABCB1C1D1A1【答案...
