1.2.2充要条件A级基础巩固一、选择题1．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“A∩{0，1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0，1}＝{0}”，所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．答案：B2．“x2＞2013”是“x2＞2012”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由于“x2＞2013”时，一定有“x2＞2012”，反之不成立，所以“x2＞2013”是“x2＞2012”的充分不必要条件．答案：A3．“|x|＝|y|”是“x＝y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|.答案：B4．“函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称”的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1答案：A5．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－B．x＝－1C．x＝5D．x＝0解析：因为a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，所以a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.又a⊥b⇔a·b＝0，所以2x＝0，所以x＝0.答案：D二、填空题6．给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件．解析：“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l与平面α垂直”．答案：充要条件7．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以为“x2＜1”的一个充分条件的所有不等式的序号为________．1解析：由于x2＜1即－1＜x＜1，①显然不能使－1＜x＜1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④8．下列各小题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：＝1，q：y＝f(x)是偶函数；③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A，q：.答案：①④三、解答题9．已知条件p：|x－1|＞a和条件q：2x2－3x＋1＞0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.解：依题意a＞0.由条件p：|x－1|＞a得x－1＜－a，或x－1＞a，所以x＜1－a，或x＞1＋a，由条件q：2x2－3x＋1＞0得x＜，或x＞1.要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有解得a≥.令a＝1，则p：x＜0，或x＞2，此时必有x＜，或x＞1.即p⇒q，反之不成立．所以，使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝1.10．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.证明：(1)必要性．因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0.所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.(2)充分性．因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.又ab≠0，所以a≠0且b≠0.因为a2－ab＋b2＝＋b2＞0.所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0B级能力提升1．已知函数f(x)＝则“a≤－2”是“f(x)在R上单调递减”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C2．设集合A＝{x|x(x－1)＜0}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．解析：由于A＝{x|0＜x＜1}，则A⊆B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．2(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的范围．(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的范围．解：(1)由题意x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S.由x2－8x－20≤0⇒－2≤x≤10，所以P＝[－2，10]．由|x－1|≤m⇒1－m≤x≤1＋m，所以S＝[1－m，1＋m]．要使P＝S，则所以所以这样的m不存在．(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.由|x－1|≤m，可得1－m≤x≤m＋1，要使S⊆P，则所以m≤3.故m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．3
