第二章2.42.4.2第2课时请同学们认真完成练案[19]A级基础巩固一、选择题1．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若AF＝3FB，则|AB|＝(A)A．B．C．D．[解析] 直线AB过焦点，且AF＝3FB，∴直线AB的倾斜角为60°或120°，∴|AB|＝＝＝.2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则OA·OB的值是(D)A．12B．－12C．3D．－3[解析]设A、B，则OA＝，OB＝，则OA·OB＝·＝＋y1y2，又 AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，∴OA·OB＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D．3．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(B)A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在[解析]由定义|AB|＝5＋2＝7， |AB|min＝4，∴这样的直线有两条．4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是(D)A．1B．2C．D．[解析]如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2，又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.5．(山东潍坊2018－2019学年高二期末)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B，则|AB|＝(D)A．8B．C．16D．1[解析]抛物线C：y2＝4x的焦点(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 过F且倾斜角为60°的直线为y＝(x－1)，∴，整理得3x2－10x＋3＝0，由韦达定理可知x1＋x2＝，由抛物线的定义可知：|AB|＝p＋x1＋x2＝2＋＝.故选D．6．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|等于(B)A．9B．6C．4D．3[解析]设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)．由题意知F(1,0)，因为FA＋FB＋FC＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线定义，有|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B．二、填空题7．(2020·山东卷，13)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝____.[解析]由题意得直线方程为y＝(x－1)，联立方程，得得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝，故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋＝.8．如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2＝2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝__10__.[解析]由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10.三、解答题9．已知抛物线C：y2＝2px过点A(1,2)．(1)求抛物线C的方程；(2)求过点P(3，－2)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．[解析](1)由题意得2p＝4，所以抛物线方程为y2＝4x.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝t(y＋2)＋3，代入抛物线方程得y2－4ty－8t－12＝0.所以Δ＝16t2＋32t＋48>0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－8t－12.所以k1·k2＝·＝·＝＝＝－2.所以k1·k2为定值为－2.10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．[解析](1)如图所示，由，消去x得，ky2＋y－k＝0.2设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－. A、B在抛物线y2＝－x上，∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2. kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0.令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)． S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝·1·＝. S△OAB＝，∴＝，解得k＝±.B级素养提升一、选择题1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y＋y的最小值为(C)A．4B．6C．8D．10[解析]当直线的斜率不存在时，其方程为x＝1，∴y＝4，y＝4，∴y＋y＝8.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由，得ky2－4y－4k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－4，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋8， k2>0，∴y＋y>8，综上可知，y＋...
