课堂10分钟达标1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为()A.(±13,0)B.(0,±10)C.(0,±13)D.(0,±)【解析】选D.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10,所以c2=a2-b2=169-100=69,所以焦点坐标为(0,±).2.椭圆+=1与+=1(09时,e2===,k=4.当k+8<9时,e2===,k=-.4.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为__________.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由得由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为:+=1.1答案:+=15.在一椭圆中以焦点F1,F2为直径两端点的圆,恰好过短轴的两顶点,则此椭圆的离心率e等于________.【解析】由题可知b=c,所以a2=b2+c2=2c2,a=c.所以e==.答案:6.已知F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=,求椭圆的方程.【解析】由题意,得所以a=4,c=2.所以b2=a2-c2=4,所求椭圆方程为+=1.7.【能力挑战题】在△ABC中,AB=BC,cosB=-,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,求该椭圆的离心率e.【解析】如图,设AB=BC=x,由cosB=-及余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=x2+x2+2x2×=x2,所以AC=x.因为椭圆以A,B为焦点,故2c=AB=x,c=,又椭圆经过点C,所以AC+BC=x+x=2a,所以2a=x,a=x,所以e==,故该椭圆的离心率是.23
